BZOJ3209 花神的数论题 【组合数学+数位DP+快速幂】*

 

BZOJ3209 花神的数论题

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Description

背景
众所周知，花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。
描述
话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。
花神的题目是这样的
设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ，花神要问你
派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。

Input

一个正整数 N。

Output

一个数，答案模 10000007 的值。

Sample Input

样例输入一
3

Sample Output

样例输出一
2

HINT

对于样例一，$1\ast 1\ast 2=2$；
数据范围与约定
对于 100% 的数据，N≤10^15

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因为我们发现二进制位中1的个数不会太多，所以我们就想到了快速幂来做这题
但是如何计算小于等于n的数中二进制位有一定个数1的数的个数呢？
假设我们固定一个数的前i位和n相同，然后如果n的当前位是0必须相等，如果当前位n的二进制是1那么我们固定当前位置是0，就可以用组合数算出剩下的几个二进制位的方案数了

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注意我们这样只能算严格小于n的贡献，所以n的贡献在一开始就需要统计上

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fu(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
#define fd(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
#define LL long long
#define N 60
#define Mod 10000007
LL n,p[N],len=0;
LL c[N][N];
void init(){
  fu(i,0,N-1)c[i][0]=1;
  fu(i,1,N-1)
    fu(j,1,i)c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}
LL fast_pow(LL a,LL b){
  LL res=1;
  while(b){
    if(b&1)res=res*a%Mod;
    b>>=1;
    a=a*a%Mod;
  }
  return res;
}
LL count(int num){
  LL res=0;
  fd(i,len,1)if(p[i]){
    res+=c[i-1][num];
    num--;
    if(num<0)return res;
  }
  return res;
}
int main(){
  init();
  scanf("%lld",&n);
  LL ans=0;
  while(n){
    p[++len]=n&1;
    n>>=1;
  }
  fu(i,1,len)ans+=p[i];
  fu(i,1,len)ans=ans*fast_pow(i,count(i))%Mod;
  printf("%lld",ans);
  return 0;
}