Codeforces123E. Maze【树形dp】【概率dp】【证明题】

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题目大意

一棵树，上面的每个点都有一定概率成为起点和终点

从起点出发，随机游走，并按照下列规则统计count：

DFS(x)
    if x == exit vertex then
        finish search
    flag[x] <- TRUE
    random shuffle the vertices' order in V(x) // here all permutations have equal probability to be chosen
    for i <- 1 to length[V] do
        if flag[V[i]] = FALSE then
            count++;
            DFS(y);
    count++;

求count的期望

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思路

首先来证明一个东西：

对于每个节点u，如果这个节点是终点，那么他的贡献是

\[\sum_{(u,v)\in E}siz_v*sump_v \]

\(sump_v\)是子树内每个节点作为起始节点的概率和

首先我们把一个以u为根子树拿出来，对于其中的每一个点v

如果起始节点s在v的子树内，v一定会被经过1次，贡献\(p_s\)

如果s不在v的子树内，v有\(\frac{1}{2}\)的概率会被经过，贡献\(p_s*2*\frac{1}{2}=p_s\)

不被经过的贡献是\(0\)

然后来证为为什么有\(\frac{1}{2}\)的概率被经过

从s开始进入每个子树，要么遍历完，要么停下来

所以可以认为任何一个子树在停下来之前被访问的概率都是\(\frac{1}{2}\)

然后这题做完了。。。泪奔ing

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef double db;

const int N = 1e5 + 10;

int n, siz[N];
vector<int> g[N]; 
db p[N], q[N], sump = 0, sumq = 0, ans;

void dfs(int u, int fa) {
  siz[u] = 1;
  for (auto v : g[u]) {
    if (v == fa) continue;
    dfs(v, u);
    siz[u] += siz[v];
    p[u] += p[v];
    ans += q[u] * siz[v] * p[v];
  }
  ans += q[u] * (n - siz[u]) * (sump - p[u]);
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v;
    scanf("%d %d", &u, &v);
    g[u].push_back(v);
    g[v].push_back(u); 
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%lf %lf", &p[i], &q[i]);
    sump += p[i], sumq += q[i];
  }
  dfs(1, 0);
  printf("%.15lf", ans / (sump * sumq));
  return 0;
}