BZOJ3672: [Noi2014]购票【CDQ分治】【点分治】【斜率优化DP】
Description
今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。
全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 fv 以及到父亲城市道路的长度 sv。
从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。
对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 lv。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 lv 时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 pv,qv 作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dpv+qv。
每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。
Input
第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。
Output
输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。
Sample Input
7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10
Sample Output
40
150
0
149
300
150
HINT
.jpg)
对于所有测试数据，保证 0≤pv≤106，0≤qv≤1012，1≤fv<v；保证 0<sv≤lv≤2×1011，且任意城市到SZ市的总路程长度不超过 2×1011。
输入的 t 表示数据类型，0≤t<4，其中：
当 t=0 或 2 时，对输入的所有城市 v，都有 fv=v-1，即所有城市构成一个以SZ市为终点的链；
当 t=0 或 1 时，对输入的所有城市 v，都有 lv=2×1011，即没有移动的距离限制，每个城市都能到达它的所有祖先；
当 t=3 时，数据没有特殊性质。
n=2×10^5
思路
经典好题吧
知识点很全
首先考虑在一条链上怎么做？
斜率优化是一眼的
但是在树上怎么办？
我们要用一个节点的所有父亲来更新这个节点的dp值
考虑下分治算法来优化这个过程
在斜率优化的处理方式中有一种经典操作叫cdq分治
就是先处理一部分然后用这一部分更新剩下的部分，然后再递归处理剩下的部分
这里我们把问题模型抽象出来
如果把树划分成几个部分的话，我们考虑一个事情，就是说用来更新的祖先是一条链，可以更新到的儿子是一个子树
我们把祖先的链当成前一个部分，儿子当做另一个部分
也就是说我们先处理出前一个部分的所有信息，然后再用来更新儿子
考虑分治的过程
当前分治的树根是u，分治中心是rt
那么显然\([rt,u]\)这条链上的信息我们需要先处理出来
所以我们优先递归除了rt子树外的所有节点
然后再把\([rt,u]\)这一条链提出来更新rt的子树
注意因为有一个最大长度限制
所以我们进行更新的时候一定要注意把子树节点按照一定顺序排好，使得可以更新每一个节点的祖先数量单调不降
然后就对祖先维护凸壳就好了
注意一下点积不要爆longlong，用longdouble
还有找重心的时候如果当前节点siz是1需要特判一下不能作为重心
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
ll read() {
ll res = 0, w = 1; char c = getchar();
while (!isdigit(c) && c != '-') c = getchar();
if (c == '-') c = getchar(), w = -1;
while (isdigit(c)) res = (res << 1) + (res << 3) + c - '0', c = getchar();
return w * res;
}
const ll INF_of_ll = 1e18;
const ll N = 2e5 + 10;
struct Node {
ll id, val;
Node() {}
Node(ll id, ll val): id(id), val(val) {}
} rque[N];
bool operator < (const Node &a, const Node &b) {
return a.val > b.val;
}
struct Vector {
ll x, y;
Vector() {}
Vector(ll x, ll y): x(x), y(y) {}
} lque[N];
Vector operator - (const Vector &a, const Vector &b) {
return Vector(a.x - b.x, a.y - b.y);
}
ld operator * (const Vector &a, const Vector &b) {
return (ld) a.x * b.y - (ld) a.y * b.x;
}
struct Edge {
ll v, w, nxt;
} E[N << 1];
ll topl, topr;
ll head[N], tot = 0;
ll n, prt[N], p[N], q[N], limit[N], dp[N];
ll siz[N], dis[N], F[N], vis[N], siz_all;
void addedge(ll u, ll v, ll w) {
E[++tot] = (Edge) {v, w, head[u]};
head[u] = tot;
}
void getsiz(ll u) {
siz[u] = 1;
for (ll i = head[u]; i; i = E[i].nxt) {
ll v = E[i].v;
if (vis[v]) continue;
dis[v] = dis[u] + E[i].w;
getsiz(v);
siz[u] += siz[v];
}
}
void getrt(ll u, ll &rt) {
F[u] = siz_all - siz[u];
for (ll i = head[u]; i; i = E[i].nxt) {
ll v = E[i].v;
if (vis[v]) continue;
getrt(v, rt);
F[u] = max(F[u], siz[v]);
}
if (F[u] < F[rt] && siz[u] > 1) rt = u;
}
void dfs(ll u) {
rque[++topr] = (Node) {u, dis[u] - limit[u]};
for (ll i = head[u]; i; i = E[i].nxt)
if (!vis[E[i].v]) dfs(E[i].v);
}
ll calc(ll v, Vector u) {
return u.y + (dis[v] - u.x) * p[v] + q[v];
}
void solve(ll u, ll cursiz) {
if (cursiz == 1) return;
ll rt = 0;
getsiz(u);
F[rt] = siz_all = cursiz;
getrt(u, rt);
for (ll i = head[rt]; i; i = E[i].nxt)
vis[E[i].v] = 1;
solve(u, cursiz - siz[rt] + 1);
topl = topr = 0;
for (ll i = head[rt]; i; i = E[i].nxt)
dfs(E[i].v);
sort(rque + 1, rque + topr + 1);
ll cur = rt;
lque[0] = Vector(dis[rt] + 1, INF_of_ll);
for (ll i = 1; i <= topr; i++) {
while (cur != prt[u] && dis[cur] >= rque[i].val) {
Vector now(dis[cur], dp[cur]);
while (topl > 1 && (lque[topl] - lque[topl - 1]) * (now - lque[topl - 1]) > 0.0) topl--;
lque[++topl] = now;
cur = prt[cur];
}
if (topl) {
ll l = 1, r = topl, res = 1, now = rque[i].id;
while (l <= r) {
ll mid = (l + r) >> 1;
if (calc(now, lque[mid]) <= calc(now, lque[mid - 1])) res = mid, l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
dp[now] = min(dp[now], calc(now, lque[res]));
}
}
for (ll i = head[rt]; i; i = E[i].nxt)
solve(E[i].v, siz[E[i].v]);
}
int main() {
#ifdef dream_maker
freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
n = read();
ll typ = read();
for (ll i = 2; i <= n; i++) {
prt[i] = read();
ll w = read();
addedge(prt[i], i, w);
p[i] = read();
q[i] = read();
limit[i] = read();
dp[i] = INF_of_ll;
}
solve(1, n);
for (ll i = 2; i <= n; i++)
printf("%lld\n", dp[i]);
return 0;
}
