BZOJ4710: [Jsoi2011]分特产【组合数学+容斥】

Description

JYY 带队参加了若干场ACM/ICPC 比赛，带回了许多土特产，要分给实验室的同学们。

JYY 想知道，把这些特产分给N 个同学，一共有多少种不同的分法？当然，JYY 不希望任

何一个同学因为没有拿到特产而感到失落，所以每个同学都必须至少分得一个特产。

例如，JYY 带来了2 袋麻花和1 袋包子，分给A 和B 两位同学，那么共有4 种不同的

分配方法：

A：麻花，B：麻花、包子

A：麻花、麻花，B：包子

A：包子，B：麻花、麻花

A：麻花、包子，B：麻花

Input

输入数据第一行是同学的数量N 和特产的数量M。

第二行包含M 个整数，表示每一种特产的数量。

N, M 不超过1000，每一种特产的数量不超过1000

Output

输出一行，不同分配方案的总数。由于输出结果可能非常巨大，你只需要输出最终结果

MOD 1,000,000,007 的数值就可以了。

Sample Input

5 4
1 3 3 5

Sample Output

384835

---

思路

首先如果可以有人不拿到就很好做

那么就可以考虑容斥

用\(f_i\)表示有i个人分包裹并且每个人都拿到的方案数

然后简单容斥就可以了

---

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int N = 2010;
const int Mod = 1e9 + 7;
 
int n, m, a[N], f[N];
int fac[N], inv[N];
 
int add(int a, int b) {
  return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
}
 
int sub(int a, int b) {
  return (a -= b) < 0 ? a + Mod : a;
}
 
int mul(int a, int b) {
  return 1ll * a * b % Mod;
}
 
int fast_pow(int a, int b) {
  int res = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) res = mul(res, a);
    b >>= 1;
    a = mul(a, a);
  }
  return res;
}
 
int C(int a, int b) {
  return mul(fac[a], mul(inv[a - b], inv[b]));
}
 
int main() {
  scanf("%d %d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &a[i]); 
   
  fac[0] = inv[0] = 1;
  for (int i = 1; i < N; i++) fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
  inv[N - 1] = fast_pow(fac[N - 1], Mod - 2);
  for (int i = N - 2; i >= 1; i--) inv[i] = mul(inv[i + 1], i + 1);
   
  f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    int cur = 1;
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      cur = mul(cur, C(i + a[j] - 1, i - 1));
    }
    for (int j = 1; j < i; j++) {
      cur = sub(cur, mul(C(i, j), f[j]));
    }
    f[i] = cur;
  }
  printf("%d", f[n]);
  return 0;
}