凸包算法入门
前言：
首先，什么是凸包？
假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。如下图：
然后，什么是凸包问题？
我们把这些点放在二维坐标系里面，那么每个点都能用 (x,y) 来表示。
现给出点的数目13，和各个点的坐标。求构成凸包的点？
解一：穷举法（蛮力法）
时间复杂度：O(n³）。
思路：两点确定一条直线，如果剩余的其它点都在这条直线的同一侧，则这两个点是凸包上的点，否则就不是。
步骤：
- 将点集里面的所有点两两配对，组成 n(n-1)/2 条直线。
- 对于每条直线，再检查剩余的 (n-2) 个点是否在直线的同一侧。
如何判断一个点 p3 是在直线 p1p2 的左边还是右边呢？（坐标：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）
当上式结果为正时，p3在直线 p1p2 的左侧；当结果为负时，p3在直线 p1p2 的右边。
解二：分治法
时间复杂度：O(n㏒n)。
思路：应用分治法思想，把一个大问题分成几个结构相同的子问题，把子问题再分成几个更小的子问题……。然后我们就能用递归的方法，分别求这些子问题的解。最后把每个子问题的解“组装”成原来大问题的解。
步骤：
- 把所有的点都放在二维坐标系里面。那么横坐标最小和最大的两个点 P1 和 Pn 一定是凸包上的点（为什么呢？用反证法很容易证明，这里不详讲）。直线 P1Pn 把点集分成了两部分，即 X 轴上面和下面两部分，分别叫做上包和下包。
- 对上包：求距离直线 P1Pn 最远的点，即下图中的点 Pmax 。
- 作直线 P1Pmax 、PnPmax，把直线 P1Pmax 左侧的点当成是上包，把直线 PnPmax 右侧的点也当成是上包。
- 重复步骤 2、3。
- 对下包也作类似操作。
然而怎么求距离某直线最远的点呢？我们还是用到解一中的公式：
设有一个点 P3 和直线 P1P2 。（坐标：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）
对上式的结果取绝对值，绝对值越大，则距离直线越远。
注意：在步骤一，如果横坐标最小的点不止一个，那么这几个点都是凸包上的点，此时上包和下包的划分就有点不同了，需要注意。
解三：Jarvis步进法
时间复杂度：O(nH)。（其中 n 是点的总个数，H 是凸包上的点的个数）
思路：
- 纵坐标最小的那个点一定是凸包上的点，例如图上的 P0。
- 从 P0 开始，按逆时针的方向，逐个找凸包上的点，每前进一步找到一个点，所以叫作步进法。
- 怎么找下一个点呢？利用夹角。假设现在已经找到 {P0，P1，P2} 了，要找下一个点：剩下的点分别和 P2 组成向量，设这个向量与向量P1P2的夹角为 β 。当 β 最小时就是所要求的下一个点了，此处为 P3 。
注意：
- 找第二个点 P1 时，因为已经找到的只有 P0 一个点，所以向量只能和水平线作夹角 α，当 α 最小时求得第二个点。
- 共线情况：如果直线 P2P3 上还有一个点 P4，即三个点共线，此时由向量P2P3 和向量P2P4 产生的两个 β 是相同的。我们应该把 P3、P4 都当做凸包上的点，并且把距离 P2 最远的那个点（即图中的P4）作为最后搜索到的点，继续找它的下一个连接点。
解四：Graham扫描法
时间复杂度：O(n㏒n)
思路：Graham扫描的思想和Jarris步进法类似，也是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，但它不是利用夹角。
步骤：
- 把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
- 把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。
- 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。
（以上是准备步骤，以下开始求凸包）
以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点： - 连接 栈最上面的连个元素（即P0和栈顶）的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
- 如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
- 当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
- 检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。
最后，栈中的元素就是凸包上的点了。
以下为用Graham扫描法动态求解的过程：
解五：Melkman算法
说真的，这个算法我也还没有看清。网上的资料也少的可怜，我暂且把网上的解释截个图在这里，往后搞懂以后再回来补上。
或者有人看懂了的，希望不吝指教，不甚感激！
扩展：
以上讨论的只是二维的凸包，如果延生为三维、多维的凸包问题呢？如何求解？
不过首先，二维凸包可以用来解决围栏问题、城市规划问题、聚类分析等等。但是三维、多维的凸包可能的使用范畴有哪些？
分治法实现代码：
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> int g_result[240][2]; /*getResult()实现功能：以坐标P0(x1,y1)和Pn(x2,y2)为直线，找出pack里面里这条直线最远的点Pmax *并找出直线P0Pmax和PmaxPn的上包，进行递归。 *注：Pack[0][0]存放点的个数，pack[1]开始存放点的坐标。 *全局变量g_result[][]用来存放凸包上的点，即最终所要的答案。同样g_result[0][0]存放的是已找到的点的个数。 **/ void getResult(int Pack[240][2], int x1, int y1, int x2, int y2) { int i,t,x3,y3,R,Rmax,tmax; int ResultPack[240][2]; ResultPack[0][0] = 0; if(Pack[0][0] <= 1) return; x3 = Pack[1][0]; y3 = Pack[1][1]; R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3; Rmax = R; tmax = 1; for(i=2;i<=Pack[0][0];i++) { x3 = Pack[i][0]; y3 = Pack[i][1]; R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3; if(R >= 0) { t = ++ResultPack[0][0]; ResultPack[t][0] = x3; ResultPack[t][1] = y3; } if(R > Rmax) { Rmax = R; tmax = i; } } if(Rmax <= 0) { for(i=1;i<ResultPack[0][0];i++) { x3 = ResultPack[i][0]; y3 = ResultPack[i][1]; R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3; if(R == 0 && !((x3==x2&&y3==y2)||(x3==x1&&y3==y1))) { t = ++g_result[0][0]; g_result[t][0] = ResultPack[i][0]; g_result[t][1] = ResultPack[i][1]; } } return; } else { t = ++g_result[0][0]; g_result[t][0] = Pack[tmax][0]; g_result[t][1] = Pack[tmax][1]; if(ResultPack[0][0] == 0) return; } getResult(ResultPack,x1,y1,Pack[tmax][0],Pack[tmax][1]); getResult(ResultPack,Pack[tmax][0],Pack[tmax][1],x2,y2); } void main() { int Point[240][2];//Point存所有点。 int i=1; int x1,y1,x2,y2,x3,y3; g_result[0][0]=0;Point[0][0]=0;//Point的第一行第一列元素存放包里面有几个点。初始化为0。 printf("请输入所有点的坐标：\n"); while(scanf("%d,%d",&Point[i][0],&Point[i][1]) != EOF) i++; Point[0][0] = i-1; x1 = Point[1][0]; y1 = Point[1][1]; x2 = x1; y2 = y1; for(i=2;i<=Point[0][0];i++) { x3 = Point[i][0]; y3 = Point[i][1]; if(x3 < x1) { x1 = x3; y1 = y3; } else if(x3 > x2) { x2 = x3; y2 = y3; } } g_result[1][0] = x1; g_result[1][1] = y1; g_result[2][0] = x2; g_result[2][1] = y2; g_result[0][0] += 2; getResult(Point, x1, y1, x2, y2); getResult(Point, x2, y2, x1, y1); printf("\n\n构成凸包的点有：\n"); for(i=1;i<=g_result[0][0];i++) printf("(%d,%d)\n",g_result[i][0],g_result[i][1]); system("pause"); }
Graham扫描法实现代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; struct node { int x,y; }; node vex[1000];//存入的所有的点 node stackk[1000];//凸包中所有的点 int xx,yy; bool cmp1(node a,node b)//排序找第一个点 { if(a.y==b.y) return a.x<b.x; else return a.y<b.y; } double cross(node a,node b,node c)//计算叉积 判断bc向量到ac向量 是否通过左转得到 >0左转 <0右转 =0共线 { return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y); } double dis(node a,node b)//计算距离 { return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); } bool cmp2(node a,node b)//极角排序另一种方法，速度快 { if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx)) return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx)); return a.x<b.x; } bool cmp(node a,node b)//极角排序 { int m=cross(vex[0],a,b); if(m>0) return 1; else if(m==0&&dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0) //共线 也读入凸包 return 1; else return 0; } int main() { int t,L; int i; t=7; vex[0].x=1,vex[0].y=0; vex[1].x=-1,vex[1].y=1; vex[2].x=2,vex[2].y=0; vex[3].x=0,vex[3].y=0; vex[4].x=-1,vex[4].y=-1; vex[5].x=1,vex[5].y=-1; vex[6].x=-2,vex[6].y=-0; //可以用while读 更改 memset(stackk,0,sizeof(stackk)); sort(vex,vex+t,cmp1);//最左下角的点 stackk[0]=vex[0]; //第一个凸包点 sort(vex+1,vex+t,cmp);//cmp2是更快的，cmp更容易理解 极角排序 stackk[1]=vex[1];//将第2个点存入凸包的结构体中 int top=1;//最后凸包中拥有点的个数 实际为2 for(i=2; i<t; i++) { while(cross(stackk[top-1],stackk[top],vex[i])<0){ //是否满足叉乘大于0 不满足出栈 控制<0或<=0可以控制重点，共线 top--; } stackk[++top]=vex[i]; //满足的入栈 } for(i=0; i<=top; i++) cout<<stackk[i].x<<" "<<stackk[i].y<<endl; }
