高精度 学习记录

高精度

平时我们对于加减乘除是直接使用+-*/来实现的，但当数的长度来到100、1000时，int、long long的存储范围就不够了，此时就是使用高精度的时候。

1. 高精度加法 A+B

1.1 运算原理

首先是大数之间的加法，可以模拟我们正常进行加法的步骤来进行运算。例如下图：

可以发现加法运算是从后向前进行的，所以我们可以reverse将获得的大数倒序，运算完毕后再使其正序输出。

1.2 例题

• AcWing 791. 高精度加法

参考代码：

void solve(){
	//...
	for(int i=0,c=0;i<max(a.length(),b.length()) || c;i++){
        int t1=0,t2=0;
        if(i<a.length()) t1 = a[i]-'0';
        if(i<b.length()) t2 = b[i]-'0';
        int t = t1 + t2 + c;
        c = t / 10;t %= 10;
        ans.push_back(t+'0');
    }
    //...
}

2. 高精度减法 A-B

2.1 运算原理

其次是大数之间的减法，具体方法依然类似于大数加法，不同的是由于AB大小的不同会导致结果负数的出现，此时我们可以使A-B = -(B-A)让减法的结果始终保持为正。

P.S. 注意由于是减法，可能会导致前导零的出现，注意在输出前去除。

2.2 例题

• AcWing 792. 高精度减法

参考代码：

bool comp(){
    if(a.length()!=b.length()) return a.length()>b.length();
    for(int i=a.length()-1;~i;i--)
        if(a[i]!=b[i]) return a[i]>b[i];
    return true;
}
void solve(){
    //...
    if(!comp()) p = 1,swap(a,b);
    for(int i=0,c=0;i<a.length();i++){
        int t1=0,t2=0;
        if(i<a.length()) t1 = a[i]-'0';
        if(i<b.length()) t2 = b[i]-'0';
        int t = t1 - t2 + c;
        if(t < 0) c=-1,t+=10;
        else c = 0;
        ans.push_back(t+'0');
    }reverse(ans.begin(),ans.end());
    if(p) cout<<"-";p=-1;
    while(++p<ans.length() && ans[p]=='0');
    ans = ans.substr(min(p,(int)(ans.length()-1)),max((int)(ans.length()-p),1));
    //...
}

3. 高精度乘法 A*b

3.1 运算原理

大数与小数之间的乘法较简单，用一个数来记录A每位数与b乘积和的剩余值，依次得到每位的运算结果即可。

P.S. 注意当大数为0时，其乘积可能会有前导零，注意去除。

3.2 例题

• AcWing 793. 高精度乘法

参考代码：

void solve(){
    for(int i=0,c=0;i<a.length() || c;i++){
        int t1 = 0;
        if(i<a.length()) t1 = a[i]-'0';
        int t = t1 * b + c;
        ans.push_back(t%10+'0');c = t / 10;
    }
}

4. 高精度除法 A/b

4.1 运算原理

同大数与小数的乘法，大数和小数的除法同样较为简单。此时可以从大数前段依次向后除以b，依次记录前段和c除以b的商和余数即可。

P.S. 注意由于在运算较前期可能由于被除数过小导致前导零的出现，注意在输出前去除。

4.2 例题

• AcWing 794. 高精度除法

参考代码：

void solve(){
    for(int i=0;i<a.length();i++){
        int t1 = a[i]-'0';
        int t = t1 + 10 * c;
        ans.push_back(t/b + '0');
        c = t%b;
    }int p = -1;while(++p<ans.length() && ans[p]=='0');
    ans = ans.substr(min(p,(int)(ans.length()-1)),max(1,(int)(ans.length()-p)));
}