排序 二分学习

AcWing基础课学习

排序

1. 快速排序

1. 原理

对于一段无序的数列，若要将其排序，可以以此步骤进行：

• 对于一段的数列，可以先任取一点mid作为判断点。(其中mid一般为数列中点)
• 对于这段数列进行一次遍历，将大于mid的数放于右端，小于mid的数放于左端。
• 然后对于分配过的序列，选取其[l,p],[p+1,r]两个子段继续上述操作，直到长度为1。(其中p为上述左右两端的分界点)

2. 具体实现(代码)

本代码思路参考自y总

void quick_sort(int a[],int l,int r){
	if(l>=r) return;//设置退出条件
	int i=l-1,j+1,mid = a[l+r>>1];//设置判断点
	while(i<j){
		do i++;while(a[i]<mid);
		do j--;while(a[j]>mid);
		if(i<j) swap(a[i],a[j]);
	}
	quick_sort(a,l,j);//继续对子段排序
	quick_sort(a,j+1,r);
}

• 时间复杂度：O(N*logN)

3. 相关题目

• AcWing 785. 快速排序
• AcWing 786. 第k个数

2. 归并排序

1. 原理

对于一段无序的数列，与快速排序相似，若要将其排序，可以以此步骤进行：

• 对于一段的数列，可以先任取一点mid作为分割点。(其中mid一般为数列中点)
• 先选取其[l,mid],[mid+1,r]两个子段继续排序，并假定其已经排序完成。
• 然后对于已经排序过的两段子段，按照排序顺序先放入b数组中，然后再将排序过的数列覆盖原数列。

2. 具体实现(代码)

本代码思路参考自y总

void merge_sort(int a[],int b[],int l,int r){
	if(l>=r) return;//设置退出条件
	int mid = l+r>>1,i=l,j=mid+1,k=0;//设置分割点
    merge_sort(a,b,l,mid);merge_sort(a,b,mid+1,r);//先对子段排序
	while(i<=mid&&j<=r)
        if(a[i]<=a[j]) b[k++] = a[i++];
    	else b[k++] = a[j++];
    while(i<=mid) b[k++]=a[i++];
    while(j<=r) b[k++]=a[j++];
    for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++) a[i]=b[j];
}

• 时间复杂度：O(N*logN)

3. 相关应用

• 求逆序对

当用归并排序对数组进行排序时，可以发现，当出现a[i]>b[j]时，即出现了逆序对，且对于当前a[j]来说，会出现mid-i+1个逆序对(即a[j]与[i,mid]共mid-i+1个数配对组合成逆序对)。由此我们可以在排序时求出对应数列中存在的逆序对。

long long merge_sort(int a[],int b[],int l,int r){
    if(l>=r) return 0;
    int mid = l+r>>1,i=l,j=mid+1,k=0;
    long long ans = merge_sort(a,b,l,mid)+merge_sort(a,b,mid+1,r);
    while(i<=mid&&j<=r)
        if(a[i]<=a[j]) b[k++] = a[i++];
        else ans += mid-i+1,b[k++]=a[j++];
    while(i<=mid) b[k++] = a[i++];
    while(j<=r) b[k++] = a[j++];
    for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++) a[i]=b[j];
    return ans;
}

4. 相关题目

• AcWing 787. 归并排序
• AcWing 788. 逆序对的数量

二分

1. 整数二分

1.1 算法原理

对于一个单调的队列，我们可以通过其单调的特性，对于要找到的数k可以通过以下方法找到：

1. 先确定寻找的范围l和r
2. 当l<r时，先取范围中点mid，将区间[l,r]分为[l,mid]和[mid+1,r]（此时mid=l+r>>1）或[l,mid-1]和[mid,r]（此时mid=l+r+1>>1）
3. 然后，在l<r条件下，根据check(mid)函数，对l，r进行更新，直到l>=r

1.2 代码实现

本代码思路参考自y总

//将区间[l,r]分为[l,mid]和[mid+1,r]
int bsearch_1(int l,int r){
	while(l<r){
		int mid = l+r>>1;
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}return l;
}
//将区间[l,r]分为[l,mid-1]和[mid,r]
int bsearch_2(int l,int r){
	while(l<r){
		int mid = l+r+1>>1;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid-1
	}
}

1.3 相关题目

• AcWing 789. 数的范围

2. 浮点数二分

2.1 算法原理

对于一个单调的队列，我们可以通过其单调的特性，与整数二分相似，对于要找到的数k可以通过以下方法找到：

1. 先确定寻找的范围l和r
2. 当r-l>eps时，先取范围中点mid，mid=(l+r)/2
3. 然后，在r-l>eps条件下，根据check(mid)函数，对l，r进行更新，直到r-l<=eps

2.2 代码实现

本代码思路参考自y总

double bsearch(double l,double r){
	while(r-l>eps){
		double mid = (l+r)/2;
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid;
	}return l;
}

2.3 相关题目

• AcWing 790. 数的三次方根