P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物

思路

对题目给出的式子化简一下

设第二个手环增加了c

\[\begin{align}&\sum_{i=1}^n (x_i-(y_i+c))^2\\=&\sum_{i=1}^n x_i-2x_i(y_i+c)+(y_i+c)^2\\=&\sum_{i=1}^n x_i^2 - 2x_iy_i-2x_ic+y_i^2+2y_ic+c^2\\=&\sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n2x_iy_i-\sum_{i=1}^n2x_ic+\sum_{i=1}^ny_i^2+\sum_{i=1}^n2y_ic+\sum_{i=1}^nc^2\end{align} \]

所以只需要最大化\(\sum_{i=1}^n x_iy_i\)即可

然后设\(f(x)​\)和\(g(x)​\)，\(f(x)​\)的第i项系数是\(x_i​\)，\(g(x)​\)的第i项系数是\(y_i​\)，所以\(f(x)*g(x)​\)的第n+1项系数就是第一个环的第n个和第二个环的第1个重合的结果，然后以此类推，断环为链，所以倍长f，把g反转之后卷积，n+1~2n项的最大值即为所求，剩下的可以二次函数极值或者暴力枚举c

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 300000;
const int MOD = 998244353;
const int G = 3;
const int invG = 332748118;
struct Poly{
    int t,data[MAXN];
    Poly(){};
};
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(1LL*a*ans)%MOD;
        a=(1LL*a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void output(Poly a){
    putchar('\n');
    printf("a.times=%lld\n",a.t);
    putchar('\n');
    for(int i=0;i<=a.t;i++)
        printf("%lld ",a.data[i]);
    putchar('\n');
    putchar('\n');
}
void rev(Poly &a){
    for(int i=0,j=a.t;i<j;i++,j--)
        swap(a.data[i],a.data[j]);
}
void save(Poly &a,int top){
    for(int i=top+1;i<=a.t;i++)
        a.data[i]=0;
    a.t=top;
}
void NTT(Poly &a,int n,int opt){
    int lim=0;
    while((1<<lim)<n)
        lim++;
    n=(1<<lim);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t=0;
        for(int j=0;j<lim;j++)
            if((i>>j)&1)
                t|=(1<<(lim-j-1));
        if(i<t)
            swap(a.data[i],a.data[t]);
    }
    for(int i=2;i<=n;i<<=1){
        int len=i/2;
        int tmp=pow((opt)?G:invG,(MOD-1)/i);
        for(int j=0;j<n;j+=i){
            int arr=1;
            for(int k=j;k<j+len;k++){
                int t=(1LL*arr*a.data[k+len])%MOD;
                a.data[k+len]=(a.data[k]-t+MOD)%MOD;
                a.data[k]=(a.data[k]+t+MOD)%MOD;
                arr=(1LL*arr*tmp)%MOD;
            }
        }
    }
    if(!opt){
        int invN = pow(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
            a.data[i]=(a.data[i]*invN)%MOD;
    }
}
void mul(Poly &a,Poly b){//a=a*b
    int num=a.t+b.t,lim=0;
    while((1<<lim)<=(num+2))
        lim++;
    lim=(1<<lim);
    NTT(a,lim,1);
    NTT(b,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)
        a.data[i]=(1LL*a.data[i]*b.data[i])%MOD;
    NTT(a,lim,0);
    for(int i=num+1;i<lim;i++)
        a.data[i]=0;
    a.t=num;
}
int n,m,x[MAXN],y[MAXN];
Poly a,b;
signed main(){
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&x[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&y[i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        a.data[i]=x[i+1];
    for(int i=0;i<n;i++)
        a.data[i+n]=x[i+1];
    a.t=2*n-1;
    for(int i=0;i<n;i++)
        b.data[i]=y[i+1];
    b.t=n-1;
    rev(a);
    mul(a,b);
    int ans=0;
    // output(a);
    for(int i=n;i<=2*n-1;i++)
        ans=max(a.data[i],ans);
    // printf("%lld\n",ans);
    int sum1=0,sum2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum1+=y[i]-x[i],sum2+=x[i]*x[i]+y[i]*y[i];
    int last=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
    // printf("%lld %lld\n",sum1,sum2);
    for(int c=-m;c<=m;c++)
            last=min(last,abs(n*c*c+2*c*sum1+sum2-2*ans));
    printf("%lld\n",last);    
    return 0;
}