P4725 【模板】多项式对数函数

思路

考虑对ln求导后处理

根据复合函数的求导法则\(g'(f(x))=g'(x)f'(x)\)

得到

\[\ln F(x) '= \frac{F'(x)}{F(x)} \]

最后对这个式子积分

\[\ln F(x) = \int {\frac{F'(x)}{F(x)}} \]

代码

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 300000;
const int G = 3;
const int invG = 332748118;
const int MOD = 998244353;
int n;
struct Poly{
    int t;//次数界
    int data[MAXN];
    Poly(){}
    Poly(int x,int val[]){
        for(int i=0;i<=x;i++)
            data[i]=val[i];
    }
};
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(1LL*ans*a)%MOD;
        a=(1LL*a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void rever(Poly &a){
    for(int i=0,j=a.t;i<j;i++,j--){
        swap(a.data[i],a.data[j]);
    }
}
void save(Poly &a,int top){
    for(int i=top+1;i<=a.t;i++)
        a.data[i]=0;
    a.t=top;
}
void qd(Poly &a){
    for(int i=0;i<a.t;i++)
        a.data[i]=(i+1)*a.data[i+1]%MOD;
    a.data[a.t]=0;
    a.t=a.t-1;
}
void jf(Poly &a){
    for(int i=a.t+1;i>=1;i--)
        a.data[i]=a.data[i-1]*pow(i,MOD-2)%MOD;
    a.data[0]=0;
    a.t++;
}
void output(Poly a){
    putchar('\n');
    printf("a.times=%lld\n",a.t);
    putchar('\n');
    for(int i=0;i<=a.t;i++)
        printf("%lld ",a.data[i]);
    putchar('\n');
    putchar('\n');
}
void NTT(Poly &a,int opt,int n){//1 DFT 0 IDFT
    int lim=0;
    while((1<<(lim))<n)
        lim++;
    n=(1<<lim);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t=0;
        for(int j=0;j<lim;j++)
            if((i>>j)&1)
                t|=(1<<(lim-j-1));
        if(i<t)
            swap(a.data[i],a.data[t]);        
    }
    for(int i=2;i<=n;i<<=1){
        int len=i/2;
        int tmp=pow((opt)?G:invG,(MOD-1)/i);
        for(int j=0;j<n;j+=i){
            int arr=1;
            for(int k=j;k<j+len;k++){
                int t=(1LL*a.data[k+len]*arr)%MOD;
                a.data[k+len]=(a.data[k]-t+MOD)%MOD;
                a.data[k]=(a.data[k]+t)%MOD;
                arr=(1LL*arr*tmp)%MOD;
            }
        }
    }
    if(!opt){
        int invN = pow(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++){
            a.data[i]=(a.data[i]*invN)%MOD;
        }
    }
}
void mul(Poly &a,Poly b){//a=a*b
    int num=(a.t+b.t),lim=0;
    while((1<<(lim))<=((num+2)))
        lim++;
    lim=(1<<lim);
    NTT(a,1,lim);
    NTT(b,1,lim);
    for(int i=0;i<lim;i++)
        a.data[i]=(1LL*a.data[i]*b.data[i])%MOD;
    NTT(a,0,lim);
    a.t=num;
    for(int i=num+1;i<lim;i++)
        a.data[i]=0;
}
void Inv(Poly a,Poly &inv,int dep,int &len){//
    if(dep==1){
        inv.data[0]=pow(a.data[0],MOD-2);
        inv.t=dep-1;
        return;
    }
    Inv(a,inv,(dep+1)>>1,len);
    static Poly tmp1,tmp2,tmp;
    while((dep<<1)>len)
        len<<=1;
    for(int i=0;i<dep;i++)
        tmp.data[i]=a.data[i];
    for(int i=dep;i<len;i++)
        tmp.data[i]=0;
    NTT(tmp,1,len);
    NTT(inv,1,len);
    for(int i=0;i<len;i++)
        inv.data[i]=1LL*inv.data[i]*((2-1LL*inv.data[i]*tmp.data[i])%MOD+MOD)%MOD;
    NTT(inv,0,len);
    for(int i=dep;i<len;i++)
        inv.data[i]=0;
    inv.t=dep-1;
}
void div(Poly a,Poly b,Poly &D,Poly &R){
    static Poly tmp1,tmp2;
    int Up=a.t-b.t+1,midlen=1;
    tmp1=b;
    rever(tmp1);
    Inv(tmp1,tmp2,Up,midlen);
    tmp1=a;
    rever(tmp1);
    mul(tmp2,tmp1);
    save(tmp2,a.t-b.t);
    rever(tmp2);
    D=tmp2;
    mul(tmp2,b);
    for(int i=0;i<b.t;i++)
        R.data[i]=(a.data[i]-tmp2.data[i]+MOD)%MOD;
    R.t=b.t-1;
}
void sqrt(Poly a,Poly &b,int &midlen,int dep){
    // printf("dep=%lld\n",dep);
    if(dep==1){
        b.data[0]=1;
        b.t=dep-1;
        return;
    }
    sqrt(a,b,midlen,(dep+1)>>1);
    // printf("dep=%lld\n",dep);
    while((dep<<1)>(midlen))
        midlen<<=1;
    static Poly tmp1,tmp2,tmp3;
    tmp1=b;tmp3=b;
    save(tmp1,dep-1);
    save(tmp3,dep-1);	
    save(tmp2,-1);
    int midlent=1;
    for(int i=0;i<dep;i++)
        tmp1.data[i]=(tmp1.data[i]*2)%MOD;
    Inv(tmp1,tmp2,dep,midlent);
    mul(b,tmp3);
    for(int i=0;i<dep;i++)
        b.data[i]=(b.data[i]+a.data[i])%MOD;
    mul(b,tmp2);
    for(int i=dep;i<midlen;i++)	
        b.data[i]=0;		
    b.t=dep-1;
    // output(b);
}
void ln(Poly a,Poly &b,int n){
    static Poly tmp1;
    int midlent=1;
    Inv(a,tmp1,n,midlent);
    b=a;
    qd(b);
    mul(b,tmp1);
    jf(b);
    save(b,n-1);
}
Poly a,b;
signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld",&a.data[i]);
    a.t=n-1;
    ln(a,b,n);
    for(int i=0;i<=b.t;i++)
        printf("%lld ",b.data[i]);
    putchar('\n');
    return 0;
}