P4781 【模板】拉格朗日插值

思路

拉格朗日插值是一种能够根据n个点\((x_i,y_i)\)求出对应多项式的方法
定义拉格朗日插值的基函数\(L(i)\)为

\[L(i)=\prod_{j=0,j\not=i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}y_i \]

容易发现这个函数的特点就是当\(x=x_i\)时，\(y=y_i\)，其他时候\(y=0\)
所以最后插值出来的多项式就是这n个基函数求和（恰好在每个\(x_i\)处取到\(y_i\)）

\[G(x)=\sum_{i=0}^n L(i) \]

然后没了
还有重心拉格朗日插值之后再说

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int n,k,x[2020],y[2020];
signed main(){
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d %d",&x[i],&y[i]);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int up=1,down=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j){
                up=up*(k-x[j]+MOD)%MOD;
                down=down*(x[i]-x[j]+MOD)%MOD;
            }
        ans=(ans+up*y[i]%MOD*pow(down,MOD-2)%MOD+MOD)%MOD;
        // printf("%d\n",ans);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}