CF961G Partitions

前言

技不如人，甘拜下风
这题神仙推式，顶不住顶不住
输了

前置芝士——一些组合数的公式

\[k\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right)n \]

\[\sum_{i=0}^n\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right)(k-1)^{n-i}=k^n \]

二项式定理可证（左边乘上\(1^i\)）

思路

求和式

单独考虑每个数x出现的次数，即每个物体对总答案的贡献肯定是\(w_i\times p_i\)，\(p_i\)是一个系数，现在考虑如何求出这个系数
考虑对于一个大小为k的集合，如果物体在其中，则有\(\left(\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right)\)种方式可以选到它，剩下的数再组成k-1个集合，就是第二类斯特林数\(\left\{ \begin{matrix}n-k\\k-1\end{matrix} \right\}\)
所以可以枚举集合大小，答案就是

\[\sum_{i=1}^nw_i\sum_{j=1}^nj\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)\left\{ \begin{matrix}n-k\\k-1\end{matrix} \right\} \]

颓式子

我们要求的式子长这样

\[\sum_{i=1}^nw_i\sum_{j=1}^nj\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)\left\{ \begin{matrix}n-k\\k-1\end{matrix} \right\} \]

先发现\(\sum_{i=1}^nw_i\)这一项和后面毫无关联，把它去掉只考虑后面的式子
对于\(\sum_{j=1}^nj\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)\left\{ \begin{matrix}n-k\\k-1\end{matrix} \right\}\)，带入第二类斯特林数的通式
得到

\[\begin{align}&\sum_{j=1}^nj\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)\sum_{t=0}^{k-1}\frac{(-1)^t}{t!}\frac{(k-1-t)^{n-j}}{(k-1-t)!}\\ =&\sum_{t=0}^{k-1}\frac{(-1)^t}{t!(k-t-1)!}\sum_{j=1}^nj\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)(k-1-t)^{n-j}\end{align} \]

发现后面部分只和j有关，单独考虑后面的部分

\[\begin{align}&\sum_{j=1}^nj\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)(k-1-t)^{n-j}\\ =&\sum_{j=1}^n\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)(k-1-t)^{n-j}+\sum_{j=1}^n(j-1)\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)(k-1-t)^{n-j}\\ =&\sum_{j=1}^n\left(\begin{matrix}n-1\\j-1\end{matrix}\right)(k-1-t)^{n-j}+(n-1)\sum_{j=1}^n\left(\begin{matrix}n-2\\j-2\end{matrix}\right)(k-1-t)^{n-j}\\ =&(k-t)^{n-1}+(n-1)(k-t)^{n-2}\\ =&(k-t)^{n-2}(n-1+k-t)\end{align} \]

带入回去，得到

\[ans=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{(-1)^t}{t!(k-1-t)!}(k-t)^{n-2}(n+k-t-1) \]

然后就可以\(O(k\log k)\)的快速求解了
真实理性愉悦

不是很长的代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD = 1000000007;
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int jc[200100],inv[200100];
void init(int n){
    jc[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
        inv[i]=pow(jc[i],MOD-2);
    }
}
signed main(){
    int n,k,sum=0,el=0;
    scanf("%lld %lld",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int mid;
        scanf("%lld",&mid);
        sum=(sum%MOD+mid%MOD)%MOD;
    }
    if(n==1&&k==1){
        printf("%d\n",sum);
        return 0;
    }
    else if(n==1){
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    init(k);
    for(int t=0;t<=k-1;t++){
        el=(el+(((t&1)?-1:1)+MOD)%MOD*inv[t]%MOD*inv[k-t-1]%MOD*pow(k-t,n-2)%MOD*(n+k-t-1)%MOD)%MOD;
    }
    printf("%lld\n",sum*el%MOD);
    return 0;
}

\[\]