最大子序列问题

输入一组整数，求出这组数字子序列和中最大值。也就是只要求出最大子序列的和，不必求出最大的那个序列。例如：

序列：-2 11 -4 13 -5 -2，则最大子序列和为20。

序列：-6 2 4 -7 5 3 2 -1 6 -9 10 -2，则最大子序列和为16。

    

1.对这个问题，有一个相对复杂的O(NlogN)的解法，就是使用递归。该方法我们采用“分治策略”（divide-and-conquer）。

在我们例子中，最大子序列可能在三个地方出现，或者在左半部，或者在右半部，或者跨越输入数据的中部而占据左右两部分。前两种情况递归求解，第三种情况的最大和可以通过求出前半部分最大和（包含前半部分最后一个元素）以及后半部分最大和（包含后半部分的第一个元素）相加而得到。

//递归法，复杂度是O(nlogn) 
long maxSumRec(const vector<int>& a, int left, int right) 
{ 
       if (left == right) 
       { 
              if (a[left] > 0) 
                     return a[left]; 
              else 
                     return 0; 
       } 
       int center = (left + right) / 2; 
       long maxLeftSum = maxSumRec(a, left, center); 
       long maxRightSum = maxSumRec(a, center+1, right); 
 
       //求出以左边对后一个数字结尾的序列最大值 
       long maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0; 
       for (int i = center; i >= left; i--) 
       { 
              leftBorderSum += a[i]; 
              if (leftBorderSum > maxLeftBorderSum) 
                     maxLeftBorderSum = leftBorderSum; 
       } 
 
       //求出以右边对后一个数字结尾的序列最大值 
       long maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0; 
       for (int j = center+1; j <= right; j++) 
       { 
              rightBorderSum += a[j]; 
              if (rightBorderSum > maxRightBorderSum) 
                     maxRightBorderSum = rightBorderSum; 
       } 
 
       return max3(maxLeftSum, maxRightSum,  
              maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum); 
} 
 
long maxSubSum3(const vector<int>& a) 
{ 
       return maxSumRec(a, 0, a.size()-1); 
}

 

2.

下面介绍一个线性的算法，这个算法是许多聪明算法的典型：运行时间是明显的，但是正确性则很不明显（不容易理解）。全部为负数的情况，特殊处理。

//线性的算法O(N) 

long maxSubSum4(const vector<int>& a) 

{ 

       long maxSum = 0, thisSum = 0; 

       for (int j = 0; j < a.size(); j++) 

       { 

              thisSum += a[j]; 

              if (thisSum > maxSum) 

                     maxSum = thisSum; 

              else if (thisSum < 0) 

                     thisSum = 0; 

       } 

       return maxSum; 

}