动态规划求最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）
1. 问题描述
子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串
- cnblogs
- belong
比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs, belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。
2. 求解算法
对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。
暴力解法
假设 m<nm<n， 对于母串XX，我们可以暴力找出2m2m个子序列，然后依次在母串YY中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2m)O(n∗2m)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。
动态规划
假设Z=<z1,z2,⋯,zk>Z=<z1,z2,⋯,zk>是XX与YY的LCS， 我们观察到
• 如果xm=ynxm=yn，则zk=xm=ynzk=xm=yn，有Zk−1Zk−1是Xm−1Xm−1与Yn−1Yn−1的LCS；
• 如果xm≠ynxm≠yn，则ZkZk是XmXm与Yn−1Yn−1的LCS，或者是Xm−1Xm−1与YnYn的LCS。
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xix1x2⋯xi与y1y2⋯yjy1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程
代码实现
public static int lcs(String str1, String str2) {
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
for (int i = 0; i <= len1; i++) {
for( int j = 0; j <= len2; j++) {
if(i == 0 || j == 0) {
c[i][j] = 0;
} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
} else {
c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
}
}
}
return c[len1][len2];
}
DP求解最长公共子串
前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i,j]c[i,j]用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串x1x2⋯xix1x2⋯xi与y1y2⋯yjy1y2⋯yj的结尾——的长度。
得到转移方程：
最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。
代码实现
public static int lcs(String str1, String str2) {
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
int result = 0; //记录最长公共子串长度
int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
for (int i = 0; i <= len1; i++) {
for( int j = 0; j <= len2; j++) {
if(i == 0 || j == 0) {
c[i][j] = 0;
} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
result = max(c[i][j], result);
} else {
c[i][j] = 0;
}
}
}
return result;
}
3. 参考资料
[1] cs2035, Longest Common Subsequence.
[2] 一线码农, 经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列.
[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).
