【leetcode】Unique Binary Search Trees (#96)

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n? For example, given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

 

1         3     3      2      1

    \       /     /      / \      \

     3     2     1      1   3      2

    /     /       \                 \

   2     1         2                 3

解析：

修改上例的顺序如下：

1        1        2        3        3

\        \      / \      /        /

3       2   1    3   2        1

/         \         /           \

2             3      1              2

可以看到，以 1 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 0 个元素的树，右子树是 2 个元素的树。以 2 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是1个元素的树，右子树也是1个元素的树，以此类推。当数组为 1,2,3,...,n 时，基于以下原则的构建的BST树具有唯一性：以i为根节点的树，其左子树由[1,i-1]构成，其右子树由[i+1,n]构成。

定义f(i)为以[1,i] 能产生的 UniqueBinarySearchTree 的数目，则有

如果数组为空，毫无疑问，只有一种 BST，即空树，f(0) = 1。

如果数组仅有一个元素 1，只有一种 BST，单个节点，f(1) = 1。

如果数组有两个元素 1,2，那么有如下两种可能

1            2

\        /

2    1

f(2) =    f(0)∗f(1) ，1 为根的情况

+ f(1)∗f(0) ，2 为根的情况

再看一看 3 个元素的数组，可以发现 BST 的取值方式如下：

f(3) =   f(0)∗f(2) ，1 为根的情况

+ f(1)∗f(1) ，2 为根的情况

+ f(2)∗f(0) ，3 为根的情况

所以，由此观察，可以得出f的递推公式为

f(i) =∑f(k−1)×f(i−k)

因此，可以利用动态规划解决此问题：

/*Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3
*/
//#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <windows.h>
#include <string>
#include <cstring>

using namespace std;
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int>f(n+1,0);
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for(int i=2; i<=n; i++){
        	for(int j=1; j<=i; j++){
        		f[i] +=f[j-1]*f[i-j];
        	}
        }
        return f[n];
    }
};

int main(){
	Solution s;
	cout<<s.numTrees(3)<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}