【ACM】不要62 （数位DP）
题目：http://acm.acmcoder.com/showproblem.php?pid=2089
杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62（音：laoer）。
杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。
不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如：
62315 73418 88914
都属于不吉利号码。但是，61152虽然含有6和2，但不是62连号，所以不属于不吉利数字之列。
你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。
思路：写了一个蛮力算法，直接超时了。之后各种想不出来，上网搜答案。结果发现有专门的解法，叫数位DP。之后看答案看了2个小时，那50行代码翻来覆去看了好久，终于看明白了。
唉，大神们写代码的时候注释都太精简了，像我这种没学过数位DP的看得很痛苦啊。
下面解析一下：
题目会给出两个数字 m 和 n，我们要找到 【m, n】区间内，不含4与62的数字的个数。
①我们把问题拆解为两个部分， 分别求0 ~ m - 1 和 0 ~ n 之间的不含4与62的数字的个数，然后相减。
②但是0~n中的不含4与62的值求解也很复杂，所以我们先进一步化简，求0到 i 位数的不含4和62的数字个数。
比如：
i = 1，即求 0 ~ 9 中不含4和62的数字个数
i = 2，即求 0 ~ 99 中不含4和62的数字的个数
i = 3，即求 0 ~ 999 中不含4和62的数字个数
i = 4，即求 0 ~ 9999 中不含4和62的数字的个数
..... 以此类推
用dp[i][0] 来存储 0 到 i 位数字中不含4和62的数字个数，即幸运数
用dp[i][1] 来存储 0 到 i 位数字中以 2 开头的幸运数。
用dp[i][2] 来存储 0 到 i 位数字中的非幸运数，即包含4或者62的数字。
那么，可以用下面的递推公式
dp[i][0] = dp[i - 1][0] * 9 - dp[i - 1][1] // i 位数字中的幸运数个数 = （i - 1）位幸运数字前面加上0 - 9 中除去4以外的9个数字 - 以2开头的（i - 1）位幸运数字前面加上了6.
dp[i][1] = dp[i - 1][0] // 0到 i 位数字中以2开头的幸运数 = 0到 i 位数字中所有的幸运数字前面加上2
dp[i][2] = dp[i - 1][2] * 10 + dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] //0到 i 位的非吉利数 = 0到 i - 1 位的非吉利数前面加上0-9的任何数字 + i-1位的吉利数字前面加上了4 + i-1位以2开头的吉利数字前面加上了6.
初始值： dp[0][0] = 1 dp[0][1] = dp[0][2] = 0;
根据初始值和递推公式，我们就能得到从0到任意i位数字的吉利数字的个数。
③找到0 ~ n 的吉利数字的个数
我们先求出0 ~ n 之间非吉利数字的个数，用总数减去即可。那，非吉利数字的个数怎么求呢？
用具体的数字举例来说吧：设 n = 583626
用digit[10]记录n+1每一位对应的数字，此例中有6位数字（令cnt = 6 表示数字位数），分别是
digit[6] = 5
digit[5] = 8
digit[4] = 3
digit[3] = 6
digit[2] = 2
digit[1] = 7
digit[0] = 任意数字，占位用的
用sum记录非吉利数字的个数，初始化为0
需要一个bool量 flag,记录是否出现了非吉利数字。初始化为false, 未出现。
我们从数字的最高位起进行判断:digit[6] = 5， 我们求 0 ~ 499999 之间非吉利数的个数。
首先：加上0 ~ 99999中所有非吉利数字前面添加0~4的任意一个数字的情况 sum += dp[5][2] * digit[6]
其次：5大于4，故我们要加上 0~99999中所有吉利数字前面添加4的情况 sum += dp[5][0]
接着，判断第5位digit[5] = 8，即判断500000 ~ 579999 之间的非吉利数字的个数，其实就是判断0 ~ 79999之间的，前面的数字不是6就没有什么用
首先：加上0 ~ 9999中所有非吉利数字前面添加0~7的任意一个数字的情况 sum += dp[4][2] * digit[5]
其次：8大于4，故我们要加上 0~9999中所有吉利数字前面添加4的情况 sum += dp[4][0]
此外：8大于6，故我们要加上0~9999中所有以2开头的吉利数字前添加6的情况 sum += dp[4][1]
接着，判断第4位digit[4] = 3，即判断580000 ~ 582999 之间的非吉利数字的个数，其实就是判断0 ~ 2999之间的
首先：加上0 ~ 999中所有非吉利数字前面添加0~2的任意一个数字的情况 sum += dp[3][2] * digit[4]
其次：2小于4，没有需要特别考虑的
此外：2小于6，没有需要特别考虑的
接着，判断第3位digit[3] = 6，即判断583000 ~ 583599 之间的非吉利数字的个数，其实就是判断0 ~ 599之间的
首先：加上0 ~ 99中所有非吉利数字前面添加0~5的任意一个数字的情况 sum += dp[2][2] * digit[3]
其次：6大于4，故我们要加上 0~99中所有吉利数字前面添加4的情况 sum += dp[2][0]
接着，判断第2位digit[2] = 2，即判断583600 ~ 583619 之间的非吉利数字的个数，其实就是判断0 ~ 19之间的，
首先：加上0 ~ 9中所有非吉利数字前面添加0~1的任意一个数字的情况 sum += dp[1][2] * digit[2]
其次：2小于4，没有需要特别考虑的
此外：2小于6，没有需要特别考虑的
但是，需要注意的是，这里判断的数字出现了62，我们要把flag标识为true。
最后，判断第1位digit[1] = 7, 判断583620 ~ 583626但是这里flag为true了，表示前面的数字里面已经包含了非吉利数字，所以后面需要把所有的数字情况都加入到非吉利里面。(正是因为每次判断的数字末尾都比该位的数字少1，所以最开始要记录n + 1 的值)
sum += digit[1] * dp[0][2] + digit[1] * dp[0][0]
总结一下，这部分的算法如下：
int flag=0,ans=0; for(int i=cnt;i>0;i--){ ans+=digit[i]*dp[i-1][2]; //由上位所有非吉利数推导 if(flag) //之前出现非吉利的数字 ans+=digit[i]*dp[i-1][0]; else{ if(digit[i]>4) //出现4 ans+=dp[i-1][0]; if(digit[i]>6) //出现6 ans+=dp[i-1][1]; if(digit[i+1]==6 && digit[i]>2) //出现62 ans+=dp[i][1]; } if(digit[i]==4 || (digit[i+1]==6 && digit[i]==2)) flag=1; }
整体的代码如下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; int dp[10][3]; void Init(){ //预处理，算出所有可能 memset(dp,0,sizeof(dp)); dp[0][0]=1; for(int i=1;i<=8;i++){ dp[i][0]=dp[i-1][0]*9-dp[i-1][1]; //在不含不吉利数62和4的首位分别补除了4的9个数字，减去在2前面补6的个数 dp[i][1]=dp[i-1][0]; //在不含不吉利数在首位补2 dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][0]+dp[i-1][1]; //各种出现不吉利数的情况 } } int Solve(int x){ int digit[15]; int cnt=0,tmp=x; while(tmp){ digit[++cnt]=tmp%10; tmp/=10; } digit[cnt+1]=0; int flag=0,ans=0; for(int i=cnt;i>0;i--){ ans+=digit[i]*dp[i-1][2]; //由上位所有非吉利数推导 if(flag) //之前出现非吉利的数字 ans+=digit[i]*dp[i-1][0]; else{ if(digit[i]>4) //出现4 ans+=dp[i-1][0]; if(digit[i]>6) //出现6 ans+=dp[i-1][1]; if(digit[i+1]==6 && digit[i]>2) //出现62 ans+=dp[i][1]; } if(digit[i]==4 || (digit[i+1]==6 && digit[i]==2)) flag=1; } return x-ans; //所有的数减去非吉利的数 } int main(){ int a,b; Init(); while(~scanf("%d%d",&a,&b)){ if(a==0 && b==0) break; printf("%d\n",Solve(b+1)-Solve(a)); } return 0; }
网上有更简洁的代码，用dfs和状态转移做的，我没看懂。
http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/9296953
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; int dp[8][2],digit[8]; int dfs(int len,bool state,bool fp) { if(!len) return 1; if(!fp && dp[len][state] != -1) return dp[len][state]; int ret = 0 , fpmax = fp ? digit[len] : 9; for(int i=0;i<=fpmax;i++) { if(i == 4 || state && i == 2) continue; ret += dfs(len-1,i == 6,fp && i == fpmax); } if(!fp) dp[len][state] = ret; return ret; } int f(int n) { int len = 0; while(n) { digit[++len] = n % 10; n /= 10; } return dfs(len,false,true); } int main() { int a,b; memset(dp,-1,sizeof(dp)); while(scanf("%d%d",&a,&b),a||b) { printf("%d\n",f(b)-f(a-1)); } return 0; }
第三种可以通过的方法是暴力打表，这个比较简单
http://www.cnblogs.com/zqxLonely/p/4092259.html
#include <stdio.h> #include <string.h> int flag[1000001]; int main(){ int n; int m; int i; int temp; int amount; memset(flag,0,sizeof(int)*1000001); for(i=1;i<=1000000;i++){ temp=i; while(temp){ if(temp%10==4 || temp%100==62){ flag[i]=1; break; } temp/=10; } } while(1){ scanf("%d%d",&n,&m); if(n==0 && m==0) break; amount=0; for(i=n;i<=m;i++){ if(flag[i]==1) amount++; } printf("%d\n",m-n+1-amount); } return 0; }
