排列木桩

原题

有N个木桩，高度分别为1到N。你现在要将木桩排列为一行，当你从左边看的时候，只看到L个木桩(因为，一些高的木桩会挡住矮的木桩)；从右边看时，只看到R个木桩。给定N、L、R，你该如何排列木桩呢？

例1：N=3,L=2,R=1，可行的排列方案只有{2,1,3}。

例2：N=3,L=2,R=2，可行的排列方案有{1,3,2}{2,3,1}

分析

开始排列木桩的时候，应该如何选取第一根木桩呢？一个很直接的选择就是先确定最高的木桩的位置，也就是N。因为，无论从左到右，还是从右到左看，都要到最高停下来。

确定了最高的木桩之后，无论从哪一边看，都至少有一个木桩。接下来，该如何处理？想必大家已经想到了，开始递归呗。左右两边，也同样是先确定最高的木桩的位置，依次递归下去。

构造的方法，是比较简单地。但，往往这个时候面试题并没有结束。面试官，会进一步问：给定NLR，有多少种排列木桩的方法呢？从一个构造问题，转变为一个计数的问题。该如何做呢？方法仍旧是递归，我们尝试写出递归表达式。

假设，b(N,L,R)表示排列方案的总数。f(N, L)表示N个木桩，排列得到从左边能够看到L个木桩的方案总数。我们从f的递归形式入手分析。

首先，f(N,N)=1。从左到右，从低到高排列，只有一个方案。

然后，f(N,M)=0,当N< M时。显而易见。

其次，f(N,1)=(N-1)!。当只看到一个木桩的时候，即最高的木桩排在最左边，其他的木桩无论怎么排列都可以。

再次，假设最高的木桩放在从左边开始的第k个位置，则，我们要在剩下的N-1个木桩里面，选取k-1个木桩放在最高木桩的左边，并且，找到能看到L-1个木桩的方案数(因为最高的木桩一定能看见，所以是L-1个)，此时剩下的N-K个木桩，可以任意排列，得到递归表达式如下：

f(N, L) = sum_{L<=k<=N} (N-1 选择 k-1) * f(k-1, L-1) * (N-k)!

这个式子，是仅仅考虑了总左边看到L个柱子的情况，再需要考虑，从右边看，有R根柱子的方案呢？其实很简单了，剩下的N-k个柱子，不要任意排列，要保证从右边能够看到R-1个柱子即可。所得递归式如下：

b(N,L,R) = sum_{L<=k<=N-R+1} (N-1 选择 k-1) * f(k-1, L-1) * f(N-k,R-1)

如何？并不是很难的题目，只要抓住从哪根木桩开始即可。

其实，这个题目从最矮的木桩开始，也可以写出漂亮、而且更简单递归表达式的。简单提示：

*何时能够看到最矮的木桩？*看到了如何？*看不到，又如何？

【分析完毕】