七夕鹊桥分析

原题

有n对喜鹊。每一对可以表示为(x,y)，x、y是喜鹊的编号，并且任意一对，x总是小于y。(c,d)可以连接在(a,b)之后，当且仅当b< c 。多对喜鹊连接在一起，就构建成了鹊桥。给定n对喜鹊，请你构建最长的鹊桥，来帮助有情人相会。

分析

首先，要理解这个题目的意思。具体例子说明，给定下面的例子：

(15,40)　 (5,8) 　(1,10) 　(30,31) 　(34,35)　 (9,20)　 (36,37) 　(2,4)

其中，(2,4)和(5,8)能够连接起来，(5,8)和(9,20)能够连接起来，则它们可以都连接起来，为(2,4)(5,8)(9,20)。这一段鹊桥，长度为3。依次类推，还有其他的情况。

然后，理解了题意，该如何解决呢？假设(a,b)(c,d)(e,f)是可以连接起来的三对喜鹊。则它们的关系如下： b < c，d< e，有根据a< b,c< d,e< f。得到，a< b< c< d< e< f，即b< d< f(a< c< e出发考虑，也是一样的。）我们可以想象，以每一对喜鹊的第二只编号为基准，进行排序，最终的结果，可以通过如下列表产生。

(2,4)　 (5,8) 　(1,10) 　(9,20)　 (30,31) 　(34,35) 　(36,37)　 (15,40)

怎么找到最长的鹊桥呢？其实就是在上表中，找到最长递增子序列，只不过，在比较连个喜鹊对(a,b)(c,d)的时候，是b和c进行比较即可。这个时间复杂度是O(n^2)的。

可否在从方法的角度，进一步考虑呢？

大家思考一个问题，最长的鹊桥，是否会包括第一对喜鹊。我们假设，不包括第一对喜鹊。最长的鹊桥为s1,s2…sk。每一个si，可以表示为(xi,yi)。s0，(x0,y0)为第一对喜鹊。我们有y1 < x2, 并且 y0 < y1。y0last y 则保留，否则抛弃，最终留下来的，就是最长的鹊桥。如上面的例子，得到

(2,4) 　(5,8) 　(9,20)　 (30,31) 　(34,35) 　(36,37)

长度为6。

后面这个思路，不够严谨，没有阐述严格的证明，但是存在的。留给大家思考吧。

为了美好的爱情，大家都尽力了么？

【分析完毕】