《算法导论》学习总结 — XX.第23章 最小生成树
一、什么叫最小生成树
一个无向连通图G=(V,E)，最小生成树就是联结所有顶点的边的权值和最小时的子图T，此时T无回路且连接所有的顶点，所以它必须是棵树。
二、为什么要研究最小生成树问题
《算法导论》上举了电子线路设计的例子。而在经济学、生物学中也常应用最小生成树。
三、如何求一个无向连通图的最小生成树
《算法导论》中提取讲解了两种得到最小生成树的算法，一是Kruskal算法，另一种是Prim算法。这两种算法都使用了贪心策略。
先说明几个概念：
安全边：A是G的某最小生成树的子集，如果AU{(u,v)}仍是G的某最小生成树的子集，则(u,v)是安全边；
割：无向图G=(V, E)对V一个划分(S, V-S)；
边(u,v)通过割(S,V-S)：(u,v)一个顶点位于S中，另一个顶点位于V-S中；
不妨害A的割：A中没有任意一条边通过该割；
轻边(light edge)：通过割的所有边中权值最小的（可能有多条）。
生成最小生成树的基本代码结构是：
- GENERIC-MST(G, w)
- A=空集
- while A does not form a spanning tree
- do find an edge(u,v) that is safe for A
- A=AU{(u,v)}
- return A
于是关键就在于找安全边。
定理（《算法导论》中定理23.1）（以白话阐述）：G=(V,E) 是个无向连通加权图。A 是 E 的一个子集，它包含于 G 的某个最小生成树中。设割 (S, V-S) 是G的任意一个不妨害A的割（就是说A中任何一条边的两个端点要么全在S中，要么全在V-S中），边(u,v)是通过割（S,V-s)的一条轻边（就是说(u,v)是所有端点分布于S和V-S的边中权值最小的），则(u,v)对集合A是安全的。
推论：A是G=（V,E)的某个最小生成树的子集。G(A)=(V,A)是图G的一个森林（只有A集合中的边），C=（Vc, Ec)为G(A)的一个连通分支（森林中的树）。如果边(u,v)是连接C和G(A)中其他某连通分支的一条轻边，则(u,v)对集合A来说是安全的。
1. Kruskal 算法
- MST-KRUSKAL(G, w)
- A=空集
- for each vertex v∈V[G]
- do MAKE_SET(v)
- sort the edges of E into nondescreasing order by weight w
- for each edge(u,v)∈E, take in nondescreasing order by weight
- do if FIND-SET(u) != FIND-SET(v) // 如果u和v不在同一个连通分支中，就把(u,v)加入，由推论可知此边是安全的
- then A = AU{(u,v)}
- UNION(u,v)
- return A
FIND-SET(u)是找出u所在的连通分支。
Kruskal在全局中找权值最小的边，然后判断此边是否“合法”，进行取舍，直到遍历完所有的边。
Kruskal算法的运行时间为O(ElgV)。
2. Prim算法
- MST-PRIM(G, w, r)
- for each u∈V[G]
- do key[u]=∞
- π(u) = NIL // π(u)是u的前趋
- key[r] = 0
- Q=V[G]
- while Q != 空集
- do u=EXTRACT-MIN(Q)
- for each v∈Adj[u]
- do if v∈Q and w(u,v)<key[v]
- then π(v)=u
- key[v] = w(u,v) // 更新key[v]
Q是一个优先队列，key[v]是所有将v与树中某一顶点相连的边中的最小权值，若不存在这样的边，则k[v]=∞。
Prim算法在局部寻找权值小的的边（此边必合法），直到遍历完所有的节点。
Prim算法的运行时间为O(ElgV)，与Kruskal算法渐近相等。
Prim算法实际上使用了与Dijkstra算法同样的策略，维护了一个权值数组key，在迭代过程中不断的更新。
