9717 取数对弈

9717 取数对弈

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题型: 编程题   语言: G++;GCC;VC

 

Description

取数对弈游戏问题：

取数游戏是一个 2 人对策游戏。游戏开始时将 n 个数在棋盘上从左到右排成一行。

甲乙双方轮流在这一行数的左右两端取数，直至全部取完 n 个数。每人所取得的数的总和
为其得分值。

最后双方得分多者获胜。（游戏规定由甲方先取数。）

这里，甲乙双方都采用如下最优策略:
1)甲每次取都希望取到的这个数使自己得分最高
2)乙每次取都希望取到的这个数令甲的得分最低

其实，由于两方无论怎么取，双方总和是固定的，甲每次都挑能使自己得分最高的数来取，乙要使得甲得分最低，
其实也就是使自己得分最高。所以甲乙双方都是按照相同的动机来取数的，那就是都是为了使自己得分最高。

请编程实现：在甲乙双方都采用最优策略的前提下，计算甲方先取数时双方的最后得分。 

输入格式

对于每组输入数据，输入数据的第 1 行有 1 个正整数 n (1<=n<=100)，表示有 n 个
数在棋盘上从左到右排成一行。
接下来的 n 个数表示在棋盘上依次排列的 n 个数。 

输出格式

在甲乙双方都采用最优策略的前提下，输出计算出的双方的最后得分。甲方得分在前，乙方得分在后。 
如输入6个数:
4 7 2 9 5 2
甲取2 7 9，可得18分，乙取4 5 2得11分。这也是甲所能获得的最高分。

 

输入样例

6
4 7 2 9 5 2 

 

输出样例

18 11

 

提示

注意：此题不能用“贪心法”！贪心法在这题上不能保证总可行且最优的，因为你不能只“关注眼前”，而“不管以后”。

（属于动态规划的题，对任意一个数字开头且具有任意一个长度的数字序列，都去求可能获得的最大得分。）

1、前提和假设如下：
每次取数都只能从数列的头尾选择。甲乙双方都依最优策略来选择。（得分=所取的数之和）
sum(i,j)：表示a[i]到a[j]的元素之和，即sum(i,j) = a[i]+...+a[j]
p[i][j]：表示从a[i]到a[j]时，甲方先取数并在甲乙双方都采用最优策略的前提下时，甲方最
终能获得的最大得分。

注意：这个“甲乙双方都采用最优策略的前提”，其实是甲乙双方都尽量使自己的得分最大。
对甲方是使自己得分最高这个动机好理解，对乙方而言，使得甲方得分最低为下步策略，由于
总分是一定的，其实也就是使乙方自己得分最大。
因此，虽然有甲乙2个人对弈，但他们动机是一致的。

2、分析如下：
当甲方取a[i]时，p[i][j] = sum(i,j) - p[i+1][j];
当甲方取a[j]时，p[i][j] = sum(i,j) - p[i][j-1];
甲方会取这两种情况较大的作为自己的选择。即sum(i,j) - min( p[i+1][j], p[i][j-1] )  

3、递归关系如下：
1）当j=i, p[i][j] = a[i];
2）当j>i, p[i][j] = sum(i,j) - min( p[i+1][j], p[i][j-1] )

4、题目所求为：
所求的甲方得分 = p[1][n]; 乙方得分 = sum - p[1][n]

5、例如：（左边界i，右边界j）
j=i     4   7   2   9   5   2
j=i+1     7   7   9   9   5
j=i+2       6   11  7   11
j=i+3         16  16  11
j=i+4           11  14
j=i+5             18

做一个二维数组p[i][j]，从斜边往右上角方向填充，右上角元素即为本题所求。






我的代码实现：

#include<stdio.h>
#define N 105
int p[N][N];
int sum[N][N];

void sum1(int n,int a[]){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum[i][i]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[j][j];
        }
    }
}

int min(int a,int b){
    return a<b?a:b;
}

//1）当j=i, p[i][j] = a[i];
//2）当j>i, p[i][j] = sum(i,j) - min( p[i+1][j], p[i][j-1] )
//
void pp(int n,int a[]){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        p[i][i]=a[i];
    }
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            p[i][j]=sum[i][j]-min(p[i+1][j],p[i][j-1]);
        }
    }
}

int main(){
    int n,a[N];
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    sum1(n,a);
    pp(n,a);
    printf("%d ",p[1][n]);
    printf("%d",sum[1][n]-p[1][n]);
}