11085 买票找零

11085 买票找零

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题型: 编程题   语言: G++;GCC;VC

 

Description

一场激烈足球赛即将开始，售票员紧张地卖票着……。
每张球票50元，现在有2n（1<=n<=18）个球迷排队购票，其中n个手持50元钞票，另外n个手持100元钞票。
假设开始售票时售票处没有零钱可以找零。
问这2n个人有多少种排队方式，不至使售票处出现找不出零的局面？

例如当n=3时，共6人，3人持50元，3人持100元。可以找零的排队方式有如下5种：
50	50	50	100	100	100
50	50	100	100	50	100
50	50	100	50	100	100
50	100	50	50	100	100
50	100	50	100	50	100

输入格式

输入：输入n，表示2n个球迷，其中n个手持50元，另外n个手持100元。(n<=18)

输出格式

输出：这2n个人可以找零的排队方式数。

 

输入样例

3

 

输出样例

5

 

提示

这个问题可以联想到括号匹配问题。把手持50元的球迷看成左括号“（”，而手持100元的球迷看成右括号“）”。
要求任意一个右括号都要有一个前缀序列中的左括号与之对应，所以始终找的开钱的排队方式对应着合法的括号排列。

什么样的序列是合法序列？ 可以这样理解：遍历n个左括号和n个右括号排成的队列，当前符号如果是左括号，入栈；
若是右括号，让栈尾左括号出栈，如果能始终保证栈中有足够的左括号，那么该排列是一个合法的排列。
若排成的队列是奇数个，肯定不合法。但现在此题不是计算某一给定序列是否合法，而是分析合法序列的总数。

方法一

分析：最先第1个符号一定得是左括号，否则该排列肯定不合法。
假设第1个左括号和第k个符号匹配，那么从第2个至第(k-1)个符号，以及第(k+1)个符号到第2n个符号也都是合法
的括号序列。第2～第(k-1)个中间共k-2个符号，这k-2必是偶数；第(k+1)～第2n个中间共2n-k个符号，这2n-k也
必是偶数，即k必是偶数。若k为奇数，k-2为奇数，从第2～第(k-1)就含奇数个符号，那不合法。

|------|------|------...------|------|------|------...------|------|
    1      2         ...   k-1    k     k+1            2n-1     2n
       |(-----   合法  ------)|       |(-----      合法      ------)| 

设2n个(偶数)符号中合法的括号序列个数为f(2n)，若第1个符号（左括号）与第k个符号（右括号）匹配，
如前所分析，k是偶数，假设k=2i（i=1,...n）。
那么剩余符号的合法序列为：f(2i-2)*f(2n-2i)， 1<=i<=n。

所以：f(2n) = sum{ f(2i-2)*f(2n-2i) | 1<=i<=n }
            = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) +...+ f(2n-2)*f(0)
     其中f(0)=1。

有了这个公式，我们可以在O(n^2)的时间求出f(2n)，这也是一个Catalan数。
稍作变换，就可以看出这里的f(2n)和书上3.1节所提的Catalan数形式是一样的。
进一步得到通项公式：f(2n)=C(2n,n)/(n+1)。这个通项公式的推导书上却没说，得查阅相关数学资料了。
作为程序实现，你只需前一个展开公式即可实现了。


方法二

分析：如果符号序列的前k（k=1,2,...,2n-1）项中左括号的个数不少于右括号的个数（即大于等于），
则序列合法，否则非法。

（1）n个左括号和n个右括号的总的排列数为C(2n,n)，即2n个位置，选择n个给左括号，剩下n个全给
右括号。

（2）我们考虑一下非法序列的个数。
   在非法序列中，存在某（些）个k，使得序列前k项中左括号个数小于右括号个数。
   取其中最小的k，必有序列前k项中左括号的个数比右括号的个数刚好少1个，而序列后2n-k个项中
左括号个数比右括号个数刚好多1个。
   若将序列后2n-k个项中的左括号和右括号全部对调（左括号视为右括号，右括号视为左括号），对
调后则整个序列左括号个数为n-1个，右括号为n+1个。
   一个非法序列对应于这样一个对调后序列，这是一一对应的。
   而对调后的序列左括号个数为n-1个，右括号为n+1个。这样的序列有C(2n,n-1)个，也就是2n个位
置，选择n-1个给左括号，剩下n+1个全给右括号。
   根据一一对应对调原则，非法序列个数也为C(2n,n-1)个。

（3）将步骤1和步骤2相减，则可行的排列方式数为：C(2n,n) - C(2n,n-1) = C(2n,n)/(n+1)。这也
同时验证了“方法一”中未证明而推导的通项公式。



提醒：

此题推荐大家使用方法一的展开公式:
f(2n) = sum{ f(2i-2)*f(2n-2i) | 1<=i<=n }
      = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) +...+ f(2n-2)*f(0)
其中f(0)=1。

你若想"取巧取简"用方法二的公式算的话会面临大整数的运算，因为n<=18呢。
我看有同学用double类型来算阶乘，然后按方法二的公式算，由于浮点数精度问题也许会让最后结果有误差的吧。



我的代码实现

#include<stdio.h>

#define N 30
int p[N], m[N][N];


void BuytCTicketatalan(int n){
    for(int i=0;i<n+1;i++)p[i]==0;
    p[1]=1;
    for(int i=2;i<=n+1;i++){
        for(int k=1;k<=n;k++){
            m[k][i-k]=p[k]*p[i-k];
            p[i]+=m[k][i-k];
        }
    }
}


int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    BuyTicketCatalan(n);
    printf("%d",p[n+1]);
    return 0;
}