11087 统计逆序对（优先做）

11087 统计逆序对（优先做）

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题型: 编程题   语言: G++;GCC;VC

 

Description

设a[0…n-1]是一个包含n个数的数组，若在i<j的情况下，有a[i]>a[j]，则称(i, j)为a数组的一个逆序对（inversion）。
比如 <2,3,8,6,1> 有5个逆序对。请采用类似“合并排序算法”的分治思路以O(nlogn)的效率来实现逆序对的统计。

一个n个元素序列的逆序对个数由三部分构成：
（1）它的左半部分逆序对的个数，（2）加上右半部分逆序对的个数，（3）再加上左半部分元素大于右半部分元素的数量。
其中前两部分（1）和（2）由递归来实现。要保证算法最后效率O(nlogn)，第三部分（3）应该如何实现？

此题请勿采用O(n^2)的简单枚举算法来实现。

并思考如下问题：
（1）怎样的数组含有最多的逆序对？最多的又是多少个呢？
（2）插入排序的运行时间和数组中逆序对的个数有关系吗？什么关系？

输入格式

第一行：n，表示接下来要输入n个元素，n不超过10000。
第二行：n个元素序列。

输出格式

逆序对的个数。

 

输入样例

5
2 3 8 6 1

 

输出样例

5

 

提示

此题看着简单啊，实际是个坑，陷入此坑的同学不少……。题目初看简单，但仔细分析有点意思！


一、算法整体思路和框架

确定n个元素的逆序对数目在最坏情况O(nlogn)的算法，可以考虑仿归并排序中的分治算法：一个序列的逆序对
个数由三部分构成：
（1）它的左半部分逆序对的个数，
（2）加上右半部分逆序对的个数，
（3）再加上左半部分元素大于右半部分元素的数量。
其中（1）和（2）由递归来实现，（3）计算后加入。

伪代码如下：
//count_inversion()：计算逆序对数量
int count_inversion(int array[], int low, int high)
{
    int count = 0, middle;
    if(low < high)
    {
        middle = low + (high - low) / 2;
        count += count_inversion(array, low, middle);   //加入：对左段的逆序对的递归计数
        count += count_inversion(array, middle + 1, high);    //加入：对右段的逆序对的递归计数
        count += merge_inversion(array, low, middle, high);   //加入上面提到的第三种情形的计数
    }

    return count;
}


二、分治算法的效率分析，是否能达到题目所要求的O(nlogn)?

分析一下算法效率，题目要求算法效率为O(nlogn)，假设T(n)为n个元素逆序对统计的分治算法时间。
则T(1)=1, T(n) = 2T(n/2) + O(?)，要使得算法整个效率T(n)=O(nlogn)，则上述第（3）步只能是O(n)。

那又怎么能在O(n)时间内算出“左半部分元素大于右半部分元素的数量”？
一般方法，左段任何一个元素都要和右段任何一个元素比较，然后得到第（3）步的逆序对个数，这需要
O(n^2)啊，O(n)做不到的啊。但是，若左右段元素都各自段内有序，那可以做到O(n)，只需要逐个比较
左右段段首元素即可。
这个过程和“合并排序算法”的归并的过程很类似，只是在归并的时候加入了计数的操作。

即左右段“队首元素”进行比较，
*  如果来自于左段的队首大于右段的队首，则记数加上左段元素个数（为什么是加上左段元素个
数呢？因为左段段首是左段中最小的了，最小的都比右段段首大，那左段所有元素都大于右段段
首元素的，因此计数应该是加上左段中所有的元素个数），且同时记录下小的这个数（即右段段首）；
*  否则记数不变，但依然记下小的这个数（即左段段首）。
*  这个“左右两段的队首元素比较”的过程一直持续下去，直到所有元素都记录下来，也即合并过程结束。

这第（3）步做完，同时左段和右段也合并有序了，并将合并后有序数组覆盖原数组。也就是说第（3）步
会改变数的顺序，在统计的同时也进行排序了。


三、疑问？

有人问，数的顺序都改变了，那原数序列和合并排序后的序列，去求逆序对个数还一样的吗？这样求
解是对的吗？
 —————— 回答： 是一样的！
1， 首先你问的这个问题表述就不准确，其实并不是“合并排序后的序列去求逆序对个数”，而是在合并
之前先让左右段成序，再统计第（3）步，而后再合并排序成一个有序序列的。若全都排好了再统计逆序
对个数，那当然是不一样的了。
2， 其次左右序列成序并不影响第（3）步（即统计左段元素比右段元素大的数量）。而在整个序列排序
之前，第（3）步又已做完，序列再怎么改变此时已经不影响逆序对统计数了，因为已经统计完了。
3， 第（3）步要O(n)完成，还就得左右段都成序了才行，若左右段不成序，就做不到O(n)完成第（3）步，
那得两重循环O(n^2)才能做第（3）步了，进一步，若第（3）步完成需O(n^2)，那整个算法也无法做到O(nlogn)了。

到此，分析结束，你觉得这个分析是不是比较有意思？也就是说这个问题的求解是嵌在典型的合并排序算法
之中的，但不是嵌套而是交错进行。


四、具体实例分析

好吧，如果还不清楚，我们以题上的数据实例来分析吧。
序列：  2 3 8 6 1
分为： 2 3 8 | 6 1
对左段：（2 3 8） 计数count将增加0（此处省略若干递归的过程和文字）；
对右段：（6 1） 计数count将增加(6)(1)的左段个数，即增加1，这里是递归计算得到的,并且递归结束后右段调整为：1 6
对左右段，此时序列为（2 3 8）（1 6），
    *  左段段首2大于右段段首1，所以左段所有元素都大于右段段首1，计数count增加左段段长，
即增3，且同时记录下小的段首元素1，此时序列为（2 3 8）（6）；
    *  记下2，但计数值不增加，此时序列为（3 8）（6）；
    *  记下3，但计数值不增加，此时序列为（8）（6）；
    *  记下6，计数值count增加左段元素个数，这里即为1；
    *  记下8，但计数值不增加，此时序列为空了。
    *  记下的数形成新的序列：1 2 3 6 8，也就是排序之后的形式了。

返回计数值count：1+3+1，即返回5。


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五、回答题目的问题

最后，回答本题提出的需要思考的问题：
（1）一个逆序的序列含有最多逆序对，最多为：1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2。
   顺序的序列含有最少逆序对，数量为0。

（2）插入排序的运行时间和数组中逆序对个数有关，
   最好的情况，原序列已经成顺序，则插入排序的代价是O(n)；
   最坏的情况，原序列为逆序，插入排序的代价为O(n^2)；
   平均情况下也是O(n^2)的。
   每一个逆序对都将引起插入过程中的一次比较及后续数的挪位，因此说数组中逆序对个数越少，
插入排序算法性能就越好。



我的代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 100005



int  merge_inversion(int arr[],int left,int mid,int right){
        int temp[N];
        int sum=0;
        int i = left;//左序列指针
        int j = mid+1;//右序列指针
        int t = 0;//临时数组指针
        while (i<=mid && j<=right){
            if(arr[i]<=arr[j]){
                temp[t++] = arr[i++];
            }else {
                temp[t++] = arr[j++];
                sum+=(mid-i+1);
            }
        }
        while(i<=mid){//将左边剩余元素填充进temp中
            temp[t++] = arr[i++];
        }
        while(j<=right){//将右序列剩余元素填充进temp中
            temp[t++] = arr[j++];
        }
        t = 0;
        //将temp中的元素全部拷贝到原数组中
        while(left <= right){
            arr[left++] = temp[t++];
        }
       return sum;
}





int count_inversion(int array[], int low, int high)
{
    int count = 0, middle;
    if(low < high)
    {
        middle = low + (high - low) / 2;
       count += count_inversion(array, low, middle);   //加入：对左段的逆序对的递归计数
       count += count_inversion(array, middle + 1, high);    //加入：对右段的逆序对的递归计数
        count_inversion(array,low,middle);//左边归并排序，使得左子序列有序
       count_inversion(array,middle+1,high);//右边归并排序，使得右子序列有序
       count+=merge_inversion(array, low, middle, high);   //加入上面提到的第三种情形的计数
    }

    return count;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int a[N];
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    printf("%d",count_inversion(a,0,n-1));
    return 0;
}