2. 树和二叉树（一）

(定义部分摘自清华大学出版社《数据结构（C语言版）》)

1. 树的定义和基本术语

   树（Tree）是具有n（n>=0）个节点的有限集合。在任意一颗非空树中：（1）有且仅有一个特定的节点称为“根”（root）；（2） 当n>1时，其余节点又可以分为m个互不相交的有限集合T1，T2，...，Tm。这些集合，称为子树。m为与root直接相连的节点数目。

   树的节点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。

   结点拥有的子树数目称为结点的度（degree）。

   出度为0的节点称为叶子（Leaf）或者终端结点。

   度不为零的结点称之为分支节点。 

   一棵树的度是树内各结点的度的最大值。

   一棵树的深度（depth）：自root出发，到达某个叶子的路径长度的最大值。

   有序树： 树中结点的各个子树从左至右是有序的，否则为无序树。

   森林（Forest）： m个互不相交的树的集合。对树中的每个节点而言，其子树的集合即为森林。

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   二叉树（Binary Tree）

   一种特殊的树结构，其特点是每个结点至多有两颗子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），并且，二叉树的子树有左右之分，即为有序树。

   满二叉树： 一棵深度为k且有 2^k-1个节点的二叉树。

   完全二叉树： 对满二叉树的结点进行连续编号，约定编号从根节点开始，自上而下，自左至右。深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应。

2. 二叉树的性质

   性质1 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点（i>=1）。

   性质2 深度为k的二叉树至多有2^k -1个结点（k>=1）。

   性质3 对于任意一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点树为n2，则有 n0 = n2 +1;

   性质4 具有n个结点 的完全二叉树的深度为floor(logn)+1(此处floor意为取下整)。

   性质5 如果对一棵有n个节点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一节点i（1<=i<=n），有

           （1） 如果i=1,则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲PARENT（i）是结点 floor（i/2）。

           （2） 如果2i >n， 则结点i无左孩子；否则其左孩子为节点2i。

           （3） 如果2i +1 >n, 则结点i无右孩子；否则其右孩子为结点2i+1.

 

根据二叉树的特点，既可以用数组的形式来存储，也可以用链式存储的结构。（ps： 如果是完全二叉树，数组形式存储比较好。然而最坏情况下，当一个深度为k且只有k个单节点的树用数组存储的时候，数组的大小为 2^k -1。）所以一般推荐用链式结构存储二叉树。

 

typedef struct BinaryNode

{

        TElemType  data;  // 数据域

        struct BinaryNode *Lchild, *Rchild; //指针域，左右孩子节点指针

        //   [optional] struct BinaryNode *Parent;  如果需要找到parent节点 

}BinaryNode, *BinaryTree;

BinaryNode 用于定义二叉树中的结点；

BinaryTree 用于存储二叉树结构。

 

（未完待续）