码农眼中的数学之～数学基础
写在前面：文章里面的图片公式都是逆天一个个打出来画出来的，公式系列基本上都提供了源码
图片基本上不太加水印了，加了的也留了空间可以让你裁剪去水印，这样你引用也比较方便 ～
但是还是想说下：”加个参考链接呗，逆天写作也不容易啊～“
在线预览：http://github.lesschina.com/python/ai/math/数学基础.html
1.基础概念¶
线性代数研究的是什么内容？
- 把2维世界转换成2维的世界
- 把3维世界转换成2维的世界
- 把2维世界转换成3维的世界
1维直线、2维平面（长宽）、3维空间（长宽高 | xyz轴）、4维时空（xyz轴+时间轴）
学习中主要就是学习矩阵、向量等，理解线性映射、特征值和特征向量等。
总结：线性代数就是一门将M维世界与N维世界联系起来的学科
1.1.数的分类¶
一开始人们用的数都是 自然数 (0、1、2...)来计算
后来发现用小数减大数就没法计算了。eg：1-2=?
接着就引入了负数，然后常用的数就变成了 整数 (正整数、0、负整数)，这样就可以快乐的加减乘运算
整数：
- 自然数
- 负数
后来发现，像1/3=?这类的不能整除了，于是就引入了分数，
这样数的界限又扩充了，就叫 有理数 ，这样加减乘除都可以通过分数来表示了
有理数（分数）：
- 整数
- 正整数
- 0
- 负整数
好景不长，之后求圆面积啥的，又发现了像π、√3这类的，没法用分数表示的数，
于是就又在原有基础上扩展了，加入了无理数，数的界限又扩展了==> 实数
实数（小数）：
- 有理数（分数）
- 整数
- 正整数
- 0
- 负整数
- 非整数的有理数
- 整数
- 无理数
这下总算可以了吧，可事实往往出乎意料，像二次曲线求解有无解的情况（曲线跟x轴不相交）
这太不科学了吧，然后就引入了 虚数i 的概念，并定义i²=-1，数的范围又扩大了，就叫 复数
举个例子(后面有推导)：
$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$
以前我们遇到：x²+3=0，因为判别式b²-4ac<0 所以方程无解（或者曲线画出来，看跟x轴有几个交点==>就说明有几个解）
其实我们中学学的这个无解，指的是在实数范围内无解
引入虚数后：x²+3=0==> x²-(-3)=0，因为i²=-1 ==> (x+√3i)(x-√3i)=0 有解了
# 画个图看看曲线长什么样
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成x和y的值
x_list = list(range(-10, 11))
y_list = [x**2 + 3 for x in x_list] # 2**3 ==> 8 **是Python里面的幂运算符
print(x_list)
print(y_list)
# 画图
plt.plot(x_list, y_list)
# 显示图片
plt.show()
综上所述，数可以分为：
复数：z = a+bi，i² = -1
- 实数（虚部b=0）
- 有理数
- 整数
- 正整数：1、2、3
- 0
- 负整数：-1、-2、-3
- 非整数的有理数（[正负]分数）
- [正负]有限小数：0.3 ==> (3/10)
- [正负]循环小数：0.3333... (1/3)
- 整数
- 无理数
- 无限不循环小数：π、√3
- 有理数
- 虚数（虚部b!=0）
- 纯虚数（虚部b!=0，且实部a=0）
- 非纯虚数
扩展：二次方程求解公式的推导¶
这个应该是初中学的，很多学校教数学就让背公式，其实这样容易忘记（你好几年不接触数学公式还记得？）会推导才是根本 ：
其实不仅仅是数学公式了，很多程序中的算法也是这样，都是需要推导的，不然只能用而不能深究，就更不提创新了。不扯了，进入正题：
$\mathbf{ax^2+bx+c=0（a\neq0)}$
要求x，那我们先两边同时除以a：
$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}$
把和x没关系的常数移到等号另一边：
$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$
看到左边就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 我们来凑一下：
$\mathbf{x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$
因为：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 所以可以转换成：
$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$
把右边化简一下：
$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
去左边平方（右边开根号）：
$\mathbf{x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
把左边的常数移过去：
$\mathbf{x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$
方便有需求的人，推导过程的源码贴一下：
$ax^2+bx+c=0（a\neq0)$
要求x，那我们先两边同时除以a：
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
把和x没关系的常数移到等号另一边：
$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
看到左边就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 我们来凑一下：
$x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$
因为：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 所以可以转换成：
$(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$
把右边化简一下：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
去左边平方（右边开根号）：
$x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
把左边的常数移过去：
$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$1.2.命题相关¶
命题中学阶段就接触了，我们来先说说命题 ：可以判断真假的语句叫做命题
比如：小明是个男的，这个不管对错肯定有个确定的答案
再比如：小明是活泼好学的孩子，这个就不一定了，公说公有理婆说婆有理，这种结果模糊不确定的就不是命题
充分条件和必要条件
这个时间长了容易混淆，举个例子：小明是人类，人类是小明
通过小明肯定能推出他是个人，这个就叫必要条件
人就一定是小明吗？不一定吧 ==> 这个就是充分条件
如果P成立，Q就成立是真命题时，就可以表示为：P=>Q （由P肯定能推导出Q）（eg：小明=>人）:
P是Q的必要条件Q是P的充分条件
充分必要条件：
如果P=>Q，而且Q=>P，那么：
P是Q的充分必要条件Q是P的充分必要条件
表示为：P<=>Q
1.3.集合系列¶
集合应该是刚上高中那会教的内容，我们来看看：
集合 （Python里面用 set 来表示）：某种特定性质的对象，汇总成的集体(人以类聚,物以群分) 这些对象称为该集合的元素。
集合中的元素有三个特征：
- 确定性（集合中的元素必须是确定的）
- 互异性（集合中的元素互不相同）eg：集合A={1，a}，则a不能等于1）
- 无序性（集合中的元素没有先后之分）eg：集合{3,4,5}和{3,5,4}是同一个集合
表示方式，eg：10以内的偶数：
X = {0, 2, 4, 6, 8}X = {2n | n = 0, 1, 2, 3, 4}
当x是X集合里面的元素时，可以表示为：x ∈ X eg:2 ∈ X
# Python3 Code
X = set([x for x in range(10) if x%2==0])
print(X)
# 当x是X集合里面的元素时，可以表示为：x ∈ X
# eg:2 ∈ X
2 in X
子集 ：当一个集合A里面所有元素都属于集合B时，称A是B的子集。即：A ⊆ B
eg：集合A：{1,2,3} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B
如果两个集合A和B的元素完全相同，则称A与B两个集合相等，记为 A=B：
集合A：{1,2,3,4} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B and B ⊆ A ==> A = B
真子集 ：如果集合A是集合B的子集A ⊆ B，并且集合B中至少有一个元素x∉A，那么集合A叫做集合B的真子集
简单讲：如果A包含于B,且A不等于B,就说集合A是集合B的真子集（A有的B全有，B有的A不一定有）
如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集；所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
A = set([1,2,3])
B = set([1,2,3,4])
print(A)
print(B)
# 子集（判断A是否是B的子集）
A.issubset(B)
# 父集（B是否是A的父集）
B.issuperset(A)
A = B
A.issubset(B)
并集 ：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，读作“A并B”（或“B并A”）并集越并越多，而且没有重复元素。
记作A∪B or B∪A，即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集 ：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，读作“A交B”（或“B交A”）交集越交越少。
记作A∩B or B∩A，即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A
差集 ：A，B是两个集合，所有x∈A且x∉B的元素构成的集合，叫做集合A减集合B（或集合A与集合B之差）
类似地，对于集合A、B，我们把集合 A-B={x∣x∈A,且x∉B} 叫做A与B的差集（把B中元素从A中减去）
补集 ：一般指绝对补集，即一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（S包含于A）（大前提），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在S中的绝对补集。
扩展：在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集
set1=set([1,2,5])
set2=set([2,4,6])
print(set1)
print(set2)
# 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
set1 & set2
# 并集 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
set1 | set2
# 差集 A-B={x∣x∈A,且x∉B}
set1 - set2
set3=set(list(range(10)))
print(set3)
# 【大前提】set2是set3的一个子集（set3包含于set2）
set2.issubset(set3)
# 这时候求差集，就等于求补集
set3 - set2
1.4.映射系列（映射、像、定义域和值域、满单射、双射、逆映射、线性映射等）¶
这个系列应该是高一的知识
1.映射与像 ：¶
设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，那么就称对应的规则f 为从集合A到集合B的映射 一般这样表示：f：A → B。其中，y称为元素x在映射f下的 像 ，记作：y=f(x)。
通俗讲：
把使集合A的元素与集合B的元素相对应的规则叫做 “集合A到集合B的映射”
如果从A集合中取元素x，通过f得到其对应B集合的元素y。这个新的元素就叫做：“x通过映射f形成的像”
像这个说的还是有点抽象，举个简单的例子：
高中的时候经常做这样的练习：f(x)=2x+1
用映射来解释就是：“映射 f 是使集合B的元素 2x+1 与集合A的元素 x 相对应的规则” 
再解释像就简单了：f(2)
x=2 通过 f 形成的像是 2*2+1 
2.值域和定义域：¶
我们把映像f产生的值组成一个集合{f(0)、f(1)、f(2)...}，这个集合就叫做“映像f的值域”。
而x值组成的集合 {0、1、2...} 就叫做“映像f的定义域”。
这个值域的集合往往是集合B的子集：$\lbrace f(x_1)，f(x_2)...f(x_n)\rbrace \subseteq B$
比如说：f(x)=2x+1 定义域A{0、1、2、3}，那么求出来的值域是：{1、3、5、7}，而B集合是{1、3、5、7、8} 
其实老版本的教科书还有一种说法叫做：”当映射f的值域等于集合B时，f为
4.逆映射：¶
这次先不定义，先看个图： 
看完图基本上懂了（映射g就是映射f的逆映射），现在来定义一下：
逆映射 :
当f是双射（一一对应的单射）并且映射f和映射g满足：
- g(f(x))=x
- f(g(x))=x
那么映射g就是映射f的逆映射，表示方式：$f^{-1}:B\rightarrow A$
5.线性映射¶
后面说线性回归之类的代码和数学知识时会讲，这边因为也是属于映射内容，所以简单提一下定义：
假设 $x_1$ 和 $x_2$ 是属于A集合中的任意元素，c 为任意实数，f 为从A到B的映射。
当映射f满足以下两个条件：
- $f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2)$
- $cf(x_1)=f(cx_1)$
那么映射f就是从A到B的线性映射
举个例子：f(x)=x 验证一下：是线性映射
$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2=f(x_1+x_2)$
$cf(x_1)=cx_1=f(cx_1)$
再测试一个不是的：f(x)=x+1 验证一下：
$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2+2$
$f(x_1+x_2)=x_1+x_2+1$
$f(x_1)+f(x_2)\neq f(x_1+x_2)$
后面都不用验证了，不是线性映射
1.5.排列组合¶
这个应该是高二的时候学的，简单提一下
排列组合 ：
- 排列：从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序
- 组合：从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序
通俗讲：
组合个数：“从n个中挑出r个的个数” 一般用 $C^r_n$ 来表示(n>=r)
$\Large {C^r_n=\frac{n!}{r!(n-r)!}}$
排列个数：“从n个中挑出r个的个数，然后再把选好的r个事物按照顺序排列的种数” 一般用 $A^r_n$ 来表示(n>=r)
$\Large {A^r_n=r!C^r_n=\frac{n!}{(n-r)!}}$
如果还抽象的话，我们来看个案例：
小明请小潘和小张一起去食堂吃饭，食堂今天总共有5个菜
1.试问，他们从5个菜中选出3个不同的菜，有几种可能性？
假设有A、B、C、D、E这5个菜，那选出3个有如下组合(不管顺序)：
| 列举 | 列举 | 列举 | 列举 | 列举 | 列举 |
|---|---|---|---|---|---|
| ABC | ABD | ABE | ACD | ACE | ADE |
| BCD | BCE | BDE | |||
| CDE |
$\large {C^3_5=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}=10}$
2.试问，选出的这3个菜有几种排放顺序？
假设选出的是A、B、C这3个菜，那它的排序有几种可能：
| 序号 | 列举 | 列举 |
|---|---|---|
| A | ABC | ACB |
| B | BAC | BCA |
| C | CAB | CBA |
其实无论选择哪3种，他们的排序都是6种，3!=3×2×1=6
简单分析一下：
第一道菜可以在已经选好的菜里面选1个，那就是3种可能
第二道菜可以在剩下的2道菜中选1个，那就是2种可能（第一道刚才选好了，已经算确定的了）
第三道菜不用选了，因为现在只剩下1道了，那就是1种可能
所以有 3×2×1种可能==>3!=6种可能
3.试问，从5个菜中选出3个不同的菜，并按顺序打包带走总共有多少种可能？
排列的个数其实就是：5选3组合个数 × 3道菜可能的排序 = 10 × 6 =60
$\large {A^3_5=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}=60}$
简单分析推导一下：
第一个菜可以在5道菜里面选一个，那就是5种可能
第二道菜可以在剩下的4道菜里面选一个，那就是4种可能
第三道菜可以在剩下的3道菜里面选一个，那就是3种可能
那总共可能性就是：5×4×3=60种可能性，和上面公式计算一样结果
排列、组合、二项式定理公式口诀：
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
