图基本概念与常用算法
一、思维导图
二、重要概念
1.图的定义和基本术语
a.图的结构定义
定义：是由一个顶点集 V 和一个顶点间的关系集合组成的数据结构Graph = (V , VR)；
b.基本术语
·有（无）向网
·子图
·完全图
·有向完全图
·稀疏图、稠密图
·邻接点、相关联、度
·路径、路径长度
·连通图、连通分量、强连通图、强连通分量
·生成树、生成森林
2.图的存储结构
a.邻接矩阵
#define MaxInt 32767
#define MVNum 100
typedef char VerTexType;
typedef int ArcType;
typedef struct {
VerTexType vexs[MVNum]; // 顶点表
ArcType arcs[MVNum][MVNum]; // 弧的信息(邻接矩阵)
int vexnum, arcnum; // 图的顶点数和边数
} AMGraph; //邻接矩阵
b.邻接表
表（弧/边）：
typedef struct ArcNode {
int adjvex; // 该弧所指向的顶点的位置
struct ArcNode *nextarc;//指向下一条弧的指针
InfoType *info; // 该弧相关信息的指针
} ArcNode;
头结点：
typedef struct VNode {
VerTexType data; // 顶点信息
ArcNode *firstarc; // 指向第一条依附该顶点的弧
} VNode, AdjList[MVNUM];
3.图的遍历
a.深度优先遍历
1）连通图的深度优先遍历描述：
void DFS(Graph G, int v) {
//从顶点v出发，深度优先搜索遍历连通图G
访问v; visited[v] = TRUE;
//FirstAdjVex为获得v的第一个邻接点, NextAdjVe为获得下一
个邻接点
for(w=FirstAdjVex(G, v); w>=0; w=NextAdjVex(G,v,w))
if (!visited[w]) DFS(G, w);
// 对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS
}
·邻接表：按顺序访问指针，且按顺序访问其指向，并访问其指向的指向
以上图为例：先访问A，A的第一个指向为B，便访问B，B的第一个指向为C，就访问C，以此类推。
·邻接矩阵：与上面的原理类似，行遍历，找第一个不为无穷的点，并遍历该点为行下标的行，循环以上步骤。
2）非连通图
先按连通图遍历步骤遍历，遍历后找原有点中未遍历过的，重复连通图遍历步骤。
深度优先遍历图的实质：对每个顶点查找其邻接点的过程
b.广度优先遍历
算法描述：
void BFSTraverse(Graph G){
· for (v=0; v<G.vexnum; ++v)
visited[v] = FALSE; //初始化访问标志
InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q
for ( v=0; v<G.vexnum; ++v )
if ( !visited[v]) {// v 尚未访问
访问v; visited[v] = TRUE; // 访问v
EnQueue(Q, v); // v入队列
while (!QueueEmpty(Q)) {
DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u
for(w=FirstAdjVex(G, u);
w!=0;
w=NextAdjVex(G,u,w))
if ( ! visited[w]) {
访问v; visited[w]=TRUE;
EnQueue(Q, w); // 访问的顶点w入队列
} // if
}//while
} //for
}
广度优先遍历：类似于树的层次遍历，所以是先输出每个点所有的邻接点，再输出邻接点的邻接点。
4.最小生成树
a.普里姆算法：
算法描述：
struct {
VertexType adjvex; //U集中的顶点序号
VRType lowcost; //边的权值
} closedge[MAXVNUM];
void MiniSpanTree_P(MGraph G, VertexType u) {
//用普里姆算法从顶点u出发构造网G的最小生成树
k = LocateVex ( G, u );
for (j=0; j<G.vexnum; ++j )//辅助数组初始化
if (j!=k)
closedge[j] = {u,G.arcs[k][j].adj };
closedge[k].lowcost = 0; //初始，U＝{u}
for (i=0; i<G.vexnum; ++i) {
继续向生成树上添加顶点; }
k = Min(closedge);//求出加入生成树的下一个顶点k
printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]);
//输出生成树上一条边
closedge[k].lowcost = 0;//第k顶点并入U集
for(j = 0; j < G.vexnum; ++j)
//修改其它顶点的最小边
if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost)
closedge[j]={G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj };
b.克鲁斯卡尔算法：
算法描述：
构造非连通图 ST=( V,{ } );
k = i = 0; // k 计选中的边数
while (k<n-1) {
++i;
检查边集 E 中第 i 条权值最小的边(u,v);
若(u,v)加入ST后不使ST中产生回路，则输出边(u,v);
且k++;
}
两种算法比较：
·普里姆算法：O(n*n)，适用于稠密图
·克鲁斯卡尔算法：O(eloge)，适用于稀疏图
5.最短路径
a.Dijkstra算法思想(与普里姆算法类似)
算法描述：
void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0){
//初始化
n = G.vexnum;
for(v = 0; v<n; ++v){
S[v] = false; //s初始为空集
D[v] = G.arcs[v0][v]; //v0到各个顶点的弧的权值
if (D[v] < MaxInt)
Path[v] = v0; //v0和v之间有弧
else Path[v] = -1; //v0和v之间无弧
}
S[v0] = true; //v0加入s
D[v0] = 0;
for(i = 1;i < n; ++i){
min = MaxInt;
for(w = 0; w < n; ++w)
if(!S[w] && D[w] < min)
{v = w; min = D[w];}//选择一条当前最短路径
S[v] = true; //将v加入s
for(w = 0; w < n; ++w)//加入v后，v0到其他节点需更新
if(!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w]){
D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];
Path[w] = v;
}
}
}
b.弗洛伊德(Floyd)算法：每一对顶点之间的最短路径
对每个顶点进行Dijkstra算法
6.有向无环图及其应用
a.有向无环图
一个无环的有向图称作有向无环图(Directed Acycline Graph)，简称DAG图。
有向无环图也是描述一项工程或系统的进行过程的有效工具。
绝大多数的工程都可分为若干个活动的子工程，而这些子工程之间，通常都受着一定条件的约束。
对应于有向图，即为进行拓扑排序和求关键路径的操作。
b.拓扑排序
算法描述：
while (v<>0) {
printf(v); ++m;
w:=FirstAdj(v);
while (w<>0) {
inDegree[w]--;
w:=nextAdj(v,w);
}
取下一个入度为零的顶点v;
}
if m<n printf(“图中有回路”);
CountInDegree(G,indegree); //对各顶点求入度
InitStack(S);
for ( i=0; i<G.vexnum; ++i)
if (!indegree[i]) Push(S, i); //入度为零的顶点入栈
count=0; //对输出顶点计数
while (!EmptyStack(S)) {
Pop(S, v); ++count; printf(v);
for (w=FirstAdj(v); w; w=NextAdj(G,v,w)){
--indegree(w); // 弧头顶点的入度减一
if (!indegree[w]) Push(S, w);
}
}
if (count<G.vexnum) printf(“图中有回路”);
1）从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之；
2）从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；
3）重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无
前驱的顶点为止。
4）没有前驱的顶点 入度为零的顶点；
删除顶点及以它为尾的弧 弧头顶点的入度减1。
7.关键路径
·整个工程完成的时间为：从有向图的源点到汇点的最长路径
·“关键活动”指的是：该弧上的权值增加将使有向图上的最长路径的长度增加。
·事件vi的最早发生时间：从开始点v1到vi的最长路径长度。用ve(i)表示。
·事件vi的最迟发生时间：在不推迟整个工期的前提下，事件vi允许的最晚发生时间。用vl(i)表示。
·活动ai的最早开始时间：即为ai的弧尾顶点(事件)的最早发生时间。用e(i)表示。
·活动ai的最迟开始时间：在保证不推迟整个工程的完成时间的前提下，活动ai的最迟开始时间。用l(i)表示。
·计算公式：e(i) = ve(j)（j为边的头）
l(i) =vl(k) - dut(<j, k>)（k为边的尾，dut为边的权重）
·求ve的顺序应该是按拓扑有序的次序，求vl的顺序应该是按拓扑逆序的次序。
·根据e(i)、l(i)能更准确求出关键路径。
三、疑难问题
1.Dijkstra算法思想中的Path[]数组
每点对应的值是该点所对应最短路径的上一个顶点
以上图为例
要到达的顶点为0，按顺序分别是2,3,4,5的数组值：
所以2到1的最短路径为2到1，
3到1的为3到4到1，
4到1的为4到1，
5到1的为5到3到4到1.
浙公网安备 33010602011771号