计算几何 若干定义和定理

5.1.1 三角形面积

• 利用两条边叉积除以二取绝对值

• 海伦公式

S=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√,p=(a+b+c)2S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=(a+b+c)2

• S=absinC2S=absinC2

5.1.2 三角形四心

5.1.2.1 外心

三边中垂线交点，到三角形三个顶点距离相同

5.1.2.2 内心

角平分线的交点，到三角形三边的距离相同

5.1.2.3 垂心

三条高线的交点

5.1.2.4 重心

三条中线的交点，到三角形三顶点距离的平方和最小的点，三角形内到三边距离之积最大的点

 

5.3 Pick定理

5.3.1 内容

皮克定理是指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式该公式可以表示为

2S=2a+b−2

其中aa表示多边形内部的点数，bb表示多边形边界上的点数，SS表示多边形的面积。

常用形式

S=a+b/2−1

5.3.2 常用计算

给你多边形的顶点，问多边形内部有多少点

a=S−b*2+1

 

欧拉多维体公式  V-E+F=2^n    V为顶点 E为线段 F为面. 不管顶点还是边 计算时都要枚举一条从固定点出发(所以最后要乘以n)的对角线,他的左边有i个点,右边有(n-2-i)个点 左右点的连线在这条对角线上形成了i*(n-2-i)的交点与i*(n-2-i)+1条线段 每个交点重复4次 线段重复两次

 

判断n条边能否构成n变形, 任意n-1条边的和 大于第n边