RMQ 区间最大最小值
RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询,是指这样一个问题:对于长度为n的数列A,回答若干次询问RMQ(i,j),返回数列A中下标在区间[i,j]中的最小/大值。
本文介绍一种比较高效的ST算法解决这个问题。ST(Sparse Table)算法可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。
1)预处理
设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。(DP的状态)
例如:
A数列为:3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1,2]=max(3,2,4,5) = 5,F[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;
并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。(DP的初始值)
我们把F[i,j]平均分成两段(因为F[i,j]一定是偶数个数字),从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段,i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。
2)查询
假如我们需要查询的区间为(i,j),那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i,右边界取j)的最小幂(可以重复,比如查询1,2,3,4,5,我们可以查询1234和2345)。
因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1),则有:RMQ(i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。
举例说明,要求区间[1,5]的最大值,k = log2(5 - 1 + 1)= 2,即求max(F[1, 2],F[5 - 2 ^ 2 + 1, 2])=max(F[1, 2],F[2, 2]);
void ST(int n) { for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = A[i]; for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) { for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) { dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); } } } int RMQ(int l, int r) { int k = 0; while ((1 << (k + 1)) <= r - l + 1) k++; return max(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]); }