P3275 [SCOI2011]糖果 题解

一道差分约束的模板题。

题目

题意:n个人每个人至少一个糖果,另外要满足k个不等式,求最少糖果数。

差分约束系统

给定一组不等式 x[i]x[j]<=c[k]x[i]x[j]<=c[k] (或 x[i]x[j]>=c[k]x[i]x[j]>=c[k] ),需要求出满足所有不等式的一组解 (x[1],x[2],,x[n])(x[1],x[2],,x[n]) 。这类问题是线性规划的一类简单问题。

形式:通常表示为 AX<=C(AX>=C)AX<=C(AX>=C) ,其中系数矩阵 AA 的每一行里有一个 1 和一个 1 ,其余元素都为 0。若 Amn的矩阵,则 Xn1 的矩阵,Cm1 的矩阵,对应有 m 个不等式,n 个未知数,即该系统为一个有 n 个未知数、m 个约束条件的系统,这就是差分约束系统。

求解差分约束系统,可以转化成图论的单源最短路径问题

x[j]x[i]<=b[k] ,类似最短路中的三角不等式 d[j]<=d[i]+w[i,j] ,即 d[j]d[i]<=w[i,j]

以每个变量 x[i] 为结点,对于约束条件 x[j]x[i]<=b[k] ,连接一条边 E(i,j) ,边权为 b[k]

增加一个源点S与所有其他点相连,边权均为 0x[i]x[0]<=0

则引例中的不等式可以转化为如下有向图:

     x1-x2<=0 
     x1-x5<=-1
     x2-x5<=1
     x3-x1<=5
     x4-x1<=-1
     x4-x3<=-1
     x5-x3<=-3
     x5-x4<=-3

最短路和最长路的区分

若求最大的解,那么初始时把 d[] 设为无穷大,用最短路求解。即 if(d[v]>d[u]+w(u,v)) 进行更新,而建图的时候也要用小于等于。

若求最小的解,那么初始时把 d[] 设为无穷小,用最长路求解。即 if (d[v]<d[u]+w(u,v)) 进行更新,而建图的时候也要用大于等于。

以求解最大的为例(最小解同理)d[s] 一开始为无穷大,图最短路更新的条件为: if(d[v]>d[u]+w(u,v))d[v]=d[u]+w(u,v) ; 通过不断的松弛,使得d的值不断变小,直到满足所有条件,也就是说满足条件的时候就是最大的了。

那么这题我们可以分情况讨论

1.当 x=1 建边 w[i,j]=0 w[j,i]=0

2.当 x=2 建边 w[i,j]=1( 如果 i=j 输出 1

3.当 x=3 建边 w[j,i]=0 可以取等就取等

4.当 x=4 建边 w[j,i]=1( 如果 i=j 输出 1

5.当 x=5 建边 w[i,j]=0 可以取等就取等

最后从 0 号节点向各个节点连一条长度为 1 的边(至少一个糖果,跑spfa最长路即可。

对于环特判,spfa一个点进入队列的次数大于等于n次,则说明存在环

最后统计每个点的糖果数即可

注意

anslong long 十年 OI 一场空,不开long long见祖宗

0 号节点建图倒过来枚举(出题人卡 spfa 丧心病狂, spfa 的效率与建图有关所以反过来就起飞

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int size=200010;
int tot,head[size],ver[size*2],Next[2*size],edge[2*size];
int v[size],d[size],to[size],n,k;
bool flag=1;
long long ans;
queue<int>q;
void add(int x,int y,int z){
	ver[++tot]=y;edge[tot]=z;Next[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
void spfa(){
	memset(d,0,sizeof(d));
	memset(v,0,sizeof(v));
	v[0]=1;d[0]=0;
	q.push(0);
	while(q.size()){
		int x=q.front();
		q.pop();v[x]=0;
		if(to[x]==n-1){
			printf("-1");
			exit(0);
		}to[x]++;
		for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
			int y=ver[i],z=edge[i];
			if(d[y]<d[x]+z){
				d[y]=d[x]+z;
				if(!v[y]) q.push(y),v[y]=1;
			}
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&k);
	while(k--){
		int x,a,b;
		scanf("%d %d %d",&x,&a,&b);
		if(x==1){
			add(a,b,0);add(b,a,0);
		}else if(x==2){
			if(a==b) flag=0;
			add(a,b,1);
		}else if(x==3){
			add(b,a,0);
		}else if(x==4){
			if(a==b) flag=0;
			add(b,a,1);
		}else{
			add(a,b,0);
		}
		if(!flag){
			printf("-1");
			return 0;
		}
	}
	for(int i=n;i;--i) add(0,i,1);
	spfa();
	for(int i=1;i<=n;++i) ans+=d[i];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}
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