[TAOCP 1.2.1]Eq.(6)的证明

初始时，$a = 0,\,b = 1,\,a' = 1,\,b' = 0,\,$满足：

$a'm + b'n = m = c$     (1)
$am + bn = n = d$       (2)

E4执行过之后，$c,\,d,\,a,\,b,\,a',\,b'$都有了新值，加下标n表示E4执行过之后的新值，加下标o表示E4执行之前的旧值。
$c_n = d_o$
$d_n = r$
$a_n = a'_o - qa_o$
$b_n = b'_o - qb_o$
$a'_n = a_o$
$b'_n = b_o$

将替换关系代入(1)左侧，有：
$a'm + b'n = a_om + b_on = d_o$
代入(1)右侧，有：
$c = d_o$
所以(1)式仍成立。

代入(2)左侧，有：
$am + bn = (a'_o - qa_o)m + (b'_o - qb_o)n = (a'_om + b'_on) - q(a_om + b_on) = c_o - qd_o = r$
代入(2)右侧，有：
d = r
所以(2)式仍成立。

因此等式6恒成立。