关于4.8节第一个例子
要证明n个数:
0 mod m, n mod m, 2n mod m, ..., (m - 1)n mod m
精确地由某种顺序的m/d个数字的d份拷贝组成:
0, d, 2d, ..., m - d
d = gcd(m, n)
第一步先要证明这m个数字是由m/d个数字的d份拷贝组成的,作者说这个证明是小菜一碟,通过
jn ≡ kn (mod m) <--> j(n/d) ≡ k(n/d) (mod m/d)
就可以得到。
实在看不出这里的逻辑关系,所以按如下方式理解更容易一些。
由于d = gcd(m, n),所以jn ≡ jn + mn/d (mod m)
有jn ≡ (j + m/d)n (mod m)
这意味着,第0个数和第m/d个数是一样的,第一个数和第1 + m/d个数一样,一直到第m/d - 1个数。
也就是说,以这m/d个数为一组,后续是在不断重复这一组数。由于一共有m个数,所以一共重复了d次。
这里选择n/d是因为它是上下文中已知的最小整数,说jn ≡ jn + m (mod m)也是对的,但
jn ≡ (j + m/n)n (mod m)中,不能保证m/n是整数。
接下来,要证明这m/d个数是按某种顺序排列的:
0, d, 2d, ..., m - d
令n = n'd, m = m'd,原命题变为,证明
0 mod m', n' mod m', 2n' mod m', ..., (m‘ - 1)n' mod m'是按某种顺序排列的
0, 1, 2, ..., m' - 1
对于k(0 ≤ k < m'),kn' mod m'的取值肯定是小于m'的,只要证明这m'个数互相不重复,那么它们就肯定是从0到m' - 1。
假设有k1, k2,满足 k1n' ≡ k2n' (mod m')
由于m', n'互素,所以 k1 ≡ k2 (mod m')
又由于k1, k2都小于m',所以只能是 k1 = k2。
所以,原命题得证了。