关于4.8节第一个例子

要证明n个数：

0 mod m,  n mod m,  2n mod m,  ...,  (m - 1)n mod m

精确地由某种顺序的m/d个数字的d份拷贝组成：

0,  d,  2d,  ...,  m - d

d = gcd(m, n)

 

第一步先要证明这m个数字是由m/d个数字的d份拷贝组成的，作者说这个证明是小菜一碟，通过

jn ≡ kn (mod m)  <--> j(n/d) ≡ k(n/d) (mod m/d)

就可以得到。

 

实在看不出这里的逻辑关系，所以按如下方式理解更容易一些。

由于d = gcd(m, n)，所以jn ≡ jn + mn/d (mod m)

有jn ≡ (j + m/d)n (mod m)

这意味着，第0个数和第m/d个数是一样的，第一个数和第1 + m/d个数一样，一直到第m/d - 1个数。

也就是说，以这m/d个数为一组，后续是在不断重复这一组数。由于一共有m个数，所以一共重复了d次。

这里选择n/d是因为它是上下文中已知的最小整数，说jn ≡ jn + m (mod m)也是对的，但

jn ≡ (j + m/n)n (mod m)中，不能保证m/n是整数。

 

接下来，要证明这m/d个数是按某种顺序排列的：

0,  d,  2d,  ...,  m - d

令n = n'd,  m = m'd，原命题变为，证明

0 mod m',  n' mod m',  2n' mod m',  ...,  (m‘ - 1)n' mod m'是按某种顺序排列的

0,  1,  2,  ...,  m' - 1

 

对于k(0 ≤ k < m')，kn' mod m'的取值肯定是小于m'的，只要证明这m'个数互相不重复，那么它们就肯定是从0到m' - 1。

假设有k1, k2，满足 k1n' ≡ k2n' (mod m')

由于m', n'互素，所以 k1 ≡ k2 (mod m')

又由于k1, k2都小于m'，所以只能是 k1 = k2。

 

所以，原命题得证了。