算法学习(4)----汉诺塔递归算法和非递归算法

　　学习《算法设计与分析基础》，习题2.4 第5题要求为汉诺塔游戏设计一个非递归的算法。

　　思，不得其解。看书后答案提示：

你如果做不到，也不要沮丧：这个问题的非递归算法虽然不复杂，但却不容易发现。作为一种安慰，可以在因特网上寻找答案。

　　好吧，话都说得这么直接了，遂百度之，得到一个感觉很好的答案，略做修改，摘录于下：

原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_48e3f9cd01000474.html

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在版上看有人讨论汉诺塔的非递归算法，有人介绍怎么样非递归，自己想了半天，总算想明白了。整理了下方便大家：

汉诺塔问题介绍：
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片，一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一概针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

 

递归算法:

定义 void Hanoi(char src, char des, char via, int n)
表示把n个盘子从src上借助via移动到des上。
显然有

     void Hanoi(char src, char des, char via, int n)
      {
          Hanoi(src, via, des, n - 1);
          Move(src, des, n); //把第n个盘子直接从src移动到des
          Hanoi(via,des, src, n - 1);
      }

 

根据递归算法，设f(n)为n个盘子要移动的次数。
那么显然 ：

f(n + 1) = 2*f(n) + 1  ->  [f(n + 1) + 1] = 2*[f(n) + 1]
f(1) = 1,-> f(n) + 1 = (1 + 1)^n -> f(n) = 2^n - 1。
f(64)= 2^64-1=18446744073709551615 　　

假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一年大约有 31536926 秒，计算表明移完这些金片需要5800多亿年，比地球寿命还要长，事实上，世界、梵塔、

庙宇和众生都已经灰飞烟灭。

 

非递归算法：
定义从小到大的盘子序号分别为1，2，……n。
可以用一个1到2^n - 1的2进制序列可以模拟出n个盘子的汉诺塔过程中被移动的盘子的序号序列。

即给定一个n，我们通过0到2^n - 1序列可以判断出任意一步应该移动那个盘子。
判断方法：第m步移动的盘子序号是m用二进制表示的最低位bit为1的位置。

 

证明： n = 1，显然成立。
假设n = k 成立。
n = k + 1时，对应序列1到2^(k+1) - 1，显然这个序列关于2^k左右对称。
假设我们要把k + 1个盘子从A移动C。
那么2^k可以对应着Move(k + 1, A, C)。 1 到 2^k - 1 根据假设可以
对应Hanoi(A, B, C, k)。至于2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1把最高位的1去掉对应序列变成1到2^k - 1，显然2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1和1到2^k - 1这两个序列中的对应元素的最低位bit为1的位置相同。因此2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1可以对应Hanoi(B, C，A，k)。
所以对n = k + 1也成立。

 

下面讨论第m步应该移动对应的盘子从哪到哪？
定义顺序为 A->B->C->A, 逆序为C->B->A->C。

 

性质对n个盘子的汉诺塔,任意一个盘子k(k <= n)k在整个汉诺塔的移动过程中要么一直顺序的，要么一直逆序的。而且如果k在n个盘子移动过程的顺序和k - 1(如果k > 1)以及k + 1(如果k < n)的顺序是反序。

比如：n = 3

1 A->C
2 A->B
1 C->B
3 A->C
1 B->A
2 B->C
1 A->C

其中1的轨迹A->C->B->A>C逆序，2的轨迹A->B->C顺序，3的轨迹A->C逆序
     
证明：假设n <= k成立
对于n = k + 1 根据递归算法
Hanoi(A，C，B，k + 1) = Hanoi(A, B, C, k) + Move(A, C, k + 1) + Hanoi(B, C，A，k);

整个过程中盘子k + 1只移动一次A->C为逆序对应着2^k。

对于任意盘子m < k + 1,
m盘子的移动由两部分组成一部分是前半部分Hanoi(A, B, C, k)以及后半部分的Hanoi(B, C，A，k)组成。显然有如果m在Hanoi(A, C, B, k)轨迹顺序的话，则m在Hanoi(A, B, C, k)以及Hanoi(B, C，A，k)都是逆序。反之亦然。这两部分衔接起来就会证明m在Hanoi(A，C，B，k)和Hanoi(A，C，B，k + 1)中是反序的。
同时有Hanoi塔中最大的盘子永远是逆序且只移动1步，A->C。
这样的话：

m = k + 1，在Hanoi(A，C，B，k + 1)中是逆序。
m = k，由于在Hanoi(A，C，B，k)中是逆序的，所以Hanoi(A，C，B，k + 1)中是顺序的。
m = k - 1，由于在Hanoi(A，C，B，k - 1)是逆序的，所以Hanoi(A，C，B，k)是顺序的，所以Hanoi(A，C，B，k + 1)是逆序的。
依次下去……
结论得证。

总结：在n个汉诺中n， n - 2, n - 4……是逆序移动，n - 1， n - 3，n - 5……是顺序移动。

 

有了以上结论，非递归的程序就很好写了。写了个递归和非递归比较程序：

 
#include <iostream>
using namespace std;
void Hanoi(char src, char des, char via, int n)
{
 if(n == 1)
 {
  cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;
  return;
 }
 Hanoi(src, via, des, n - 1);
 cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;
 Hanoi(via, des, src, n - 1);
}

int main()
{
 int n;
 cin >> n;
    cout<<"recusive:"<< endl;
 Hanoi('A','C','B', n);
 cout << endl;
 cout<<"normal:"<<endl;
    char order[2][256];
 char pos[64];
for(int i=0;i<64;i++)
{
       pos[i]='A';    //初始的时候，所有的圆盘位置都是 'A';
} 
 order[0]['A'] = 'B';
 order[0]['B'] = 'C';
 order[0]['C'] = 'A';
 order[1]['A'] = 'C';
 order[1]['B'] = 'A';
 order[1]['C'] = 'B';
 //0是顺序 1是逆序
 int index[64];
 //确定轨迹的顺序还是逆序
 int i, j, m;
    for(i = n; i > 0; i -= 2)
   index[i] = 1;
 for(i = n - 1; i > 0; i -= 2)
   index[i] = 0;
    memset(pos, 'A', sizeof(pos));
 for(i = 1; i < (1 << n); i ++)
    {
    for(m = 1, j = i; j%2 == 0; j/=2, m ++);  //计算出当前步骤序号的最低的 bit 为 1 的位置。 
    cout << m <<" : "<< pos[m]  <<" --> " << order[index[m]][pos[m]] << endl;        
    pos[m] = order[index[m]][pos[m]]; //更改当前位置
    }
 return 0;
}

 

感叹原作者提出的算法真是精妙。

另外补充：关于计算一个整数 bit 为 1 的最低位的问题，可以如下计算：

int lowestbit(int n)
{
    int tmp=n-1;
    tmp=tmp^n; //假设n 的最低bit 为 1 的位为m，则此时 tmp 为低 m 位都为 1 、剩余高位都为 0 的数字。
    tmp+=1;    //此时 tmp= pow(2,m);
    return log2(tmp);
}