算法学习(1)----扩展欧几里得算法
gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。
gcd函数的基本性质：
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)
公式表述
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
C++语言实现
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int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a;} |
扩展算法
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在无数组整
数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
c++语言实现
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int gcd(int a,int b,int &x,int &y){ if (b==0){ x=1,y=0; return a; } int q=gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return q;} |
求解 x，y的方法的理解
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：
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int exGcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(b==0) { x=1;y=0; return a; } int r=exGcd(b,a%b,x,y); int t=x;x=y;y=t-a/b*y; return r;} |
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a'=b,b'=a%b 而言，我们求得 x, y使得 a'x+b'y=Gcd(a',b')
那么可以得到:
a'x+b'y=Gcd(a',b') ===>
bx+(a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
有种较为不严谨的方法证明，不过至少弥补了一点空白，望某些数论大师补充修改：
由于我们知道，存在一组x与y使得a*x+b*y=gcd(a,b)。
将等式两边同时乘以整数k，即a*x*k+b*y*k=gcd(a,b)*k。如果c mod gcd(a,b)=f，则0<=f<gcd(a,b)。
那么可以令c=gcd(a,b)*k+f。这样一来，就有a*x*k+b*y*k+f=c。
若f
0，由于f<gcd(a,b)<=a<=b（假设a<=b），所以不存在f=a*m（m为整数），也就不存在a*(x*k+m)+b*y*k=c。也就是说，不存在a*x+b*y=c的整数解x与y。
0，由于f<gcd(a,b)<=a<=b（假设a<=b），所以不存在f=a*m（m为整数），也就不存在a*(x*k+m)+b*y*k=c。也就是说，不存在a*x+b*y=c的整数解x与y。所以f=0，即只有当c mod gcd(a,b)=0时，a*x+b*y=c有正整数解。得证。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(a, b) * t
q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可，但是所得解并不是该方程的所有解，找其所有解的方法如下：
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，可以
得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
编程时 exgcd 更多用于求解“中国剩余定理”相关知识 举个例子比如n除以5余2 除以13余3 那么n最小是多少，所有的n满足什么条件？
n（min)=42
n=42+k*65
欧几里德算法的扩展
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int gcd(int a,int b,int &ar,int &br){ int x1,x2,x3; int y1,y2,y3; int t1,t2,t3; if(0==a)//有一个数为0,就不存在乘法逆元 { ar=0;br=0; return b; } if(0==b) { ar=0;br=0; return a; } x1=1;x2=0;x3=a; y1=0;y2=1;y3=b; int nk; for(t3=x3%y3;t3!=0;t3=x3%y3) { k=x3/y3; t2=x2-k*y2;t1=x1-k*y1; x1=y1;x2=y2;x3=y3; y1=t1;y2=t2;y3=t3; } if(y3==1)//有乘法逆元 { ar=(y2+b)%b;//对求出来负的乘法逆元进行处理，使之在模b的完全剩余集里 br=(y1+a)%a;//原来这里是错的 return 1; } else//公约数不为1,无乘法逆元 { ar=0; br=0; return y3; }} |
首先重复操作整除中的一个论断：
如果gcd(a，b)=d，则存在m，n，使得d = ma + nb，称呼这种关系为a、b组合整数d，m，n称为组合系数。当d=1时，有 ma + nb = 1 ，此时可以看出m是a模b的乘法逆元，n是b模a的乘法逆元。
为了证明上面的结论，我们把上述计算中xi、yi看成ti的迭代初始值，考察一组数(t1，t2，t3)，用归纳法证明：当通过扩展欧几里德算法计算后，每一行都满足a×t1 + b×t2 = t3
第一行：1 × a + 0 × b = a成立
第二行：0 × a + 1 × b = b成立
假设前k行都成立，考察第k+1行
对于k-1行和k行有
t1(k-1) t2(k-1) t3(k-1)
t1(k) t2(k) t3(k)
分别满足：
t1(k-1) × a + t2(k-1) × b = t3(k-1)
t1(k) × a + t2(k) × b = t3(k)
根据扩展欧几里德算法，假设t3(k-1) = j t3(k) + r
则：
t3(k+1) = r
t2(k+1) = t2(k-1) - j × t2(k)
t1(k+1) = t1(k-1) - j × t1(k)
则
t1(k+1) × a + t2(k+1) × b
=t1(k-1) × a - j × t1(k) × a +
t2(k-1) × b - j × t2(k) × b
= t3(k-1) - j t3(k) = r
= t3(k+1)
得证
