通过n+1个控制点求出n段分段函数的解析式
最近刚好学了解析几何,在学完二元一次方程组与一次函数的关系后,我突然有了一个大胆的想法!
可不可以用程序自动求出一次函数的解析式呢?
这个想法源自于最近一段时间数学练习册上百考不厌的同类型题:给定在一次函数图像上的两个点的坐标(互不相同),求出这个一次函数的解析式
既然是同一类型的题,我又会做,我为什么不让程序帮我做呢?
何况我又是一个拿过PJ省二的OIer(虽然SX很水),而且对自己的数学很有信心。
于是我就在数学课上想这个问题(这就是我上数学课走神的借口??),并且成功想了出来怎么做。
基本思路
众所周知,当我们把一个一次函数用y=kx+b的形式表示时,我们把k叫作斜率,把b叫作截距。
由于一次函数的图像是一条直线,那么可得:当 x1-x2=x2-x3 时,y1-y2=y2-y3,也就是说当自变量x增加的值相等时,因变量y的值增加也相等,这个相信初中数学都已经讲过了;x每增加1,y增加的量就是斜率,这个我相信初中数学也都讲过(虽然教材上没有),而且这个证明过程非常简单。
根据上面两条,不难得出,x每增加n,y增加的值就是n倍的斜率。
所以,要求斜率,可以把两个点的横坐标增加的值m算出来,再算纵坐标增加的值n,然后通过n/m计算出斜率。
至于截距,将随便一个点的x,y,k代入,然后算出b。
用更简单的式子表示,就是:
k=(a-c)/(b-d)
b=b-ak
其中两个点的坐标分别为 ( a, b ),( c, d )
然后数学老师在我想出来10分钟后向我们讲了这个公式
然而,我又看到了这道题:
之后又想如何求分段函数。。
这个是比较简单的,把每两个点的函数解析式算出来,然后取值范围就是在两个点的横坐标值之间。
需要注意的是,输入必须是有序的,即从左到右输入,如果不是的话同一个x就可能对应不同的y了。
代码:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 int n; 5 double point[105][2], k, b; 6 7 int main(){ 8 scanf("%d", &n); 9 for(int i=0; i<n; i++){ 10 scanf("%lf%lf", &point[i][0], &point[i][1]); 11 } 12 for(int i=0; i<n-1; i++){ 13 k=(point[i][1]-point[i+1][1])/(point[i][0]-point[i+1][0]); 14 b=point[i][1]-k*point[i][0]; 15 printf("y="); 16 if(k==1){ 17 printf("x"); 18 } 19 else if(k!=0){ 20 cout << k << 'x'; 21 // printf("%.2lfx", k); 22 } 23 if(b>0){ 24 cout << '+' << b; 25 // printf("+%.2lf", b); 26 } 27 else if(b<0){ 28 cout << b; 29 // printf("%.2lf", b); 30 } 31 cout << " (" << point[i][0] << " <= x < " << point[i+1][0] << ")\n"; 32 // printf(" (%.2lf <= x < %.2lf)\n", point[i][0], point[i+1][0]); 33 } 34 35 return 0; 36 }
这玩意简直是做题神器啊!!