【FJ夏令营】八数码难题（洛谷P1379）
题目描述
在3×3的棋盘上，摆有八个棋子，每个棋子上标有1至8的某一数字。棋盘中留有一个空格，空格用0来表示。空格周围的棋子可以移到空格中。要求解的问题是：给出一种初始布局（初始状态）和目标布局（为了使题目简单,设目标状态为123804765），找到一种最少步骤的移动方法，实现从初始布局到目标布局的转变。
输入格式
输入初始状态，一行九个数字，空格用0表示
输出格式
只有一行，该行只有一个数字，表示从初始状态到目标状态需要的最少移动次数(测试数据中无特殊无法到达目标状态数据)
输入输出样例
输入 #1
283104765
输出 #1
4
没参考szm大神的代码是不可能的，在此感谢szm。
本题要用dfs迭代加深+IDA*+康托展开。为什么要用这个？是我强制自己用的，其实就是想练练手，其它dalao肯定还会有各种各样的解法
①迭代加深
这个相信大家都比较熟悉了，对于求“最少需要几步”的问题比较常见。
具体操作：从0开始枚举深度，要求dfs搜索树不能超过此深度。若dfs完成但没有找到解，则加 大 深 度，继续dfs，直到在某一个深度找到了解，就可以直接输出该深度了
②IDA*
Oh my star
IDA*适用于dfs+迭代加深，通过估价函数来对dfs进行优化。这个估价函数要尽量接近实际，但不能超过实际。对于本题而言，估价函数就是除0外的每个数字的当前位置与目标位置的曼哈顿距离之和。
本题不用IDA*，会T得一塌糊涂。
③康托展开
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时压缩空间。每一种排列都可以表示为一个小于等于n!的正整数。而如果按照(n+1)进制处理，则需要的空间为(n+1)的(n+1)次幂。所以康托展开可以大幅优化空间。
具体操作：X=a[n]*(n-1)!+a[n-1](n-2)!+...+a[1]*0!（其中a[i]表示第i位的数在未出现的数中排第几个）
按照以上思路，形成了以下代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[4][4];
int ans[4][4]=
{{0,0,0,0},
{0,1,2,3},
{0,8,0,4},
{0,7,6,5},
};//目标状态
int x_[10],y_[10];
int movex[4]={0,1,0,-1},movey[4]={1,0,-1,0};//4个方向
bool b[3700000];
int fac[15]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶乘，factorial，不是骂人
int ida_()//IDA*，估值函数
{
int res=0;
for(int i=1;i<=3;i++)
{
for(int j=1;j<=3;j++)
{
if(a[i][j]) res+=(abs(x_[a[i][j]]-i)+abs(y_[a[i][j]]-j));//求当前位置到目标位置的曼哈顿距离
}
}
return res;
}
bool f[10];
int kt_()//康托
{
int res=0;
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=9;i++)
{
int x=(i-1)/3+1,y=(i-1)%3+1;
int z=0;
for(int j=0;j<a[x][y];j++) if(!f[j]) z++;//统计第几小
res+=z*fac[9-i];
f[a[x][y]]=1;//已经出现过的数，标记
}
return res;
}
bool res=0;
void dfs(int x,int y,int k,int step)//(x,y)定位当前“0”的位置，k为限定深度，step为当前深度
{
if(step>k) return;//超过限定深度，返回
if(!ida_()){res=1;return;}//所有数字都到达目标位置，即曼哈顿距离之和为0，找到解
for(int i=0;i<4;i++)//周围四个方向的数字可以往空格移动
{
int xx=x+movex[i],yy=y+movey[i];
if(xx>=1&&xx<=3&&yy>=1&&yy<=3)
{
swap(a[x][y],a[xx][yy]);//移动，即与“0”交换位置
int kt=kt_();//求当前状态的逆康托展开
if(b[kt]||step+ida_()>k)//若当前状态已出现过，或当前状态最小步数肯定无法满足要求，返回
{
swap(a[xx][yy],a[x][y]);
continue;
}
b[kt]=1;//标记
dfs(xx,yy,k,step+1);
if(res) return;//若找到解，则返回，搜索结束
b[kt]=0;
swap(a[xx][yy],a[x][y]);//别忘了回溯
}
}
}
int main()
{
for(int i=1;i<=3;i++)
{
for(int j=1;j<=3;j++) x_[ans[i][j]]=i,y_[ans[i][j]]=j;//预处理，存储目标状态下每个数字的坐标
}
int sx,sy;
for(int i=1;i<=9;i++)
{
char c=getchar();
int x=(i-1)/3+1,y=(i-1)%3+1,z=c-'0';
a[x][y]=z;
if(z==0) sx=x,sy=y;//确定“0”的位置
}
int kt=kt_();
b[kt]=1;//标记初始状态
for(int i=0;;i++)//迭代加深
{
dfs(sx,sy,i,0);
if(res)//若找到解，则输出，程序结束
{
printf("%d",i);
return 0;
}
}
}
