错排公式的推导

pala提出的问题:十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

　　这个问题推广一下，就是错排问题: n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。

　　下面用递推的方法推导错排公式:

　　当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

　　第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

　　第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;

　　综上得到

　　M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

　　特殊地，M(1)=0,M(2)=1

　　下面通过这个递推关系推导通项公式:

　　为方便起见，设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)

　　则N(1)=0,N(2)=1/2

　　n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)

　　即nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)

　　于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!

　　因此

　　N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!

　　N(2)-N(1)=(-1)^2/2!

　　相加，可得

　　N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!

　　因此

　　M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]

　　可以得到

　　错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)