普里姆算法

• 应用场景

现有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

• 最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树 
N个顶点，一定有N-1条边
包含全部顶点
N-1条边都在图中
求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

• 简介

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
 
设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合 
 
若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
 
若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
 
重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

• 思路分析
  

• 代码实现

public class PrimAlgorithm {
 
	public static void main(String[] args) {
		//测试看看图是否创建ok
		char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
		int verxs = data.length;
		//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
		int [][]weight=new int[][]{
            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
            {2,3,10000,10000,4,6,10000},};
        //创建MGraph对象
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        //创建一个MinTree对象
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        //输出
        minTree.showGraph(graph);
        //测试普利姆算法
        minTree.prim(graph, 1);// 
	}
 
}
 
//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
	//创建图的邻接矩阵
	/**
	 * @param graph 图对象
	 * @param verxs 图对应的顶点个数
	 * @param data 图的各个顶点的值
	 * @param weight 图的邻接矩阵
	 */
	public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
		int i, j;
		for(i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
			graph.data[i] = data[i];
			for(j = 0; j < verxs; j++) {
				graph.weight[i][j] = weight[i][j];
			}
		}
	}
	
	//显示图的邻接矩阵
	public void showGraph(MGraph graph) {
		for(int[] link: graph.weight) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	//编写prim算法，得到最小生成树
	/**
	 * @param graph 图
	 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
	 */
	public void prim(MGraph graph, int v) {
		//visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
		int visited[] = new int[graph.verxs];
		//visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
//		for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
//			visited[i] = 0;
//		}
		//把当前这个结点标记为已访问
		visited[v] = 1;
		//h1 和 h2 记录两个顶点的下标
		int h1 = -1;
		int h2 = -1;
		int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
		for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边
			//这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
			for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i结点表示被访问过的结点
				for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
					if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
						//替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
						minWeight = graph.weight[i][j];
						h1 = i;
						h2 = j;
					}
				}
			}
			//找到一条边是最小
			System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
			//将当前这个结点标记为已经访问
			visited[h2] = 1;
			//minWeight 重新设置为最大值 10000
			minWeight = 10000;
		}
	}
}
 
class MGraph {
	int verxs; //表示图的节点个数
	char[] data;//存放结点数据
	int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
	
	public MGraph(int verxs) {
		this.verxs = verxs;
		data = new char[verxs];
		weight = new int[verxs][verxs];
	}
}