图

• 简介

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点

无向图： 顶点之间的连接没有方向，比如A-B, 即可以是 A-> B 也可以 B->A 
路径:  比如从 D -> C 的路径有 
1) D->B->C 
2) D->A->B->C

• 有向图
  

• 带权图：边带权值的图
  

• 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1....n个点
 
矩阵最左边和最上边表示图的节点
矩阵种0表示无连接，1表示有连接

• 邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失. 
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
 
标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4，
标号为1的结点的相关联结点为0 4， 
标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5

• 代码实现，创建图

public class Graph {
 
	public static void main(String[] args) {
		//测试一把图是否创建ok
		int n = 8;  //结点的个数
		//String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
		String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
 
		//创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		//循环的添加顶点
		for(String vertex: Vertexs) {
			graph.insertVertex(vertex);
		}
 
		//添加边
		//A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
		graph.insertEdge(0, 2, 1); //
		graph.insertEdge(1, 2, 1); //
		graph.insertEdge(1, 3, 1); //
		graph.insertEdge(1, 4, 1); //
 
		//显示一把邻结矩阵
		graph.showGraph();
	}
 
	private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
	private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
	private int numOfEdges; //表示边的数目
	
	//构造器
	public Graph(int n) {
		//初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numOfEdges = 0;
	}
	
	//图中常用的方法
	//返回结点的个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}
 
	//得到边的数目
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}
 
	//显示图对应的矩阵
	public void showGraph() {
		for(int[] link : edges) {
			System.err.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
 
	//返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}
 
	//返回v1和v2的权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}
 
	//插入结点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}
 
	//添加边
	/**
	 * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1
	 * @param v2 第二个顶点对应的下标
	 * @param weight 表示 
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}
 
}

• 深度优先
  

• 应用实例
  

• 具体步骤

A到B，B到C是连通的，C到D没有连通，从B到D连通，D到E没有连通，从B到E连通

• 代码实现

	//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
	private boolean[] isVisited;
	
	//构造器
	public Graph(int n) {
		//初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numOfEdges = 0;
		//isVisited = new boolean[5];
	}
 
	//得到第一个邻接结点的下标 w 
	/**
	 * @param index
	 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	 */
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
			if(edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}
 
	//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if(edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}
	
	//深度优先遍历算法
	//i 第一次就是 0
	private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		//首先我们访问该结点,输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
		//将结点设置为已经访问
		isVisited[i] = true;
		//查找结点i的第一个邻接结点w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while(w != -1) {//说明有
			if(!isVisited[w]) {
				dfs(isVisited, w);
			}
			//如果w结点已经被访问过
			w = getNextNeighbor(i, w);
		}
	}
	
	//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
	public void dfs() {
		isVisited = new boolean[vertexList.size()];
		//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
		for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if(!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}
 
# 测试
		System.out.println("深度遍历");
		graph.dfs();

• 广度优先
  

• 应用实例

A到B
A到C
A不能连通D，从B到D
A不能连通E，从B到E

• 代码实现

	//对一个结点进行广度优先遍历的方法
	private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
		int u ; // 表示队列的头结点对应下标
		int w ; // 邻接结点w
		//队列，记录结点访问的顺序
		LinkedList queue = new LinkedList();
		//访问结点，输出结点信息
		System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
		//标记为已访问
		isVisited[i] = true;
		//将结点加入队列
		queue.addLast(i);
		while( !queue.isEmpty()) {
			//取出队列的头结点下标
			u = (Integer)queue.removeFirst();
			//得到第一个邻接结点的下标 w 
			w = getFirstNeighbor(u);
			while(w != -1) {//找到
				//是否访问过
				if(!isVisited[w]) {
					System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
					//标记已经访问
					isVisited[w] = true;
					//入队
					queue.addLast(w);
				}
				//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
				w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
			}
		}
	} 
	
	//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
	public void bfs() {
		isVisited = new boolean[vertexList.size()];
		for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if(!isVisited[i]) {
				bfs(isVisited, i);
			}
		}
	}
 
# 测试
		System.out.println("广度优先!");
		graph.bfs();