斐波那契查找算法

• 斐波那契也称黄金分割法，通过黄金分割点找到mid值，即mid=low+F(k-1)-1（F代表斐波那契数列）

• 对F(k-1)-1的理解

由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。
该式说明：只要顺序表的长度为F[k]-1，则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1           
 
类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
 
但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可，
由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可

• 应用实例

对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"

• 代码实现

public class FibonacciSearch {
 
	public static int maxSize = 20;
	public static void main(String[] args) {
		int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};
		System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 189));// 0
	}
 
	//因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
	//非递归方法得到一个斐波那契数列
	public static int[] fib() {
		int[] f = new int[maxSize];
		f[0] = 1;
		f[1] = 1;
		for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
			f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
		}
		return f;
	}
	
	//编写斐波那契查找算法
	//使用非递归的方式编写算法
	/**
	 * @param a  数组
	 * @param key 我们需要查找的关键码(值)
	 * @return 返回对应的下标，如果没有-1
	 */
	public static int fibSearch(int[] a, int key) {
		int low = 0;
		int high = a.length - 1;
		int k = 0; //表示斐波那契分割数值的下标
		int mid = 0; //存放mid值
		int f[] = fib(); //获取到斐波那契数列
		//获取到斐波那契分割数值的下标
		while(high > f[k] - 1) {
			k++;
		}
		//因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
		//不足的部分会使用0填充
		int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
		//实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
		//举例:
		//temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
		for(int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
			temp[i] = a[high];
		}
		// 使用while来循环处理，找到我们的数 key
		while (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找
			mid = low + f[k - 1] - 1;
			if(key < temp[mid]) { //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
				high = mid - 1;
				//为甚是 k--
				//说明
				//1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
				//2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
				//因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
				//即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
				//即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
				k--;
			} else if ( key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
				low = mid + 1;
				//为什么是k -=2
				//说明
				//1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
				//2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
				//3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
				//4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
				//5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
				k -= 2;
			} else { //找到
				//需要确定，返回的是哪个下标
				if(mid <= high) {
					return mid;
				} else {
					return high;
				}
			}
		}
		return -1;
	}
	
}