RMQ算法 （ST算法）

 概述：

　　RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。对于一次查询，可以暴力地O(n)，但是当查询次数很多的时候，这样的暴力就无法进行了。这时我们可以通过RMQ算法来解决这个问题。

RMQ(ST)：（关于学习RMQ的博客：框架即讲解比较详细 ， 具体代码比较好）

　　ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

　　首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

int vec[MAX_N];
int dp[MAX_N][25];
void ST(int N)
{
    for(int i=1;i<=N;i++) dp[i][0] = vec[i];
    for(int j=1;(1<<j) <= N;j++)
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)
        {
            dp1[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]); //由于移位操作的优先度低，1<<j-1 = 1<<(j-1);
        }
    }
}
int RMQ(int l,int r)
{
    int k = 0;
    while((1<<k+1) <= r-l+1) k++;
    return max(dp1[l][k],dp1[r-(1<<k)+1][k]);
}

 

POJ-2364

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N = 5e4+9;
const int INF = 1e9+7;
int vec[MAX_N];
int dp1[MAX_N][25];
int dp2[MAX_N][25];
void ST(int N)
{
    for(int i=1;i<=N;i++) dp1[i][0] = dp2[i][0] = vec[i];
    for(int j=1;(1<<j)<=N;j++)
    {
        for(int i=1;i+(1<<j)-1 <= N;i++)
        {
            dp1[i][j] = max(dp1[i][j-1],dp1[i+(1<<j-1)][j-1]);
            dp2[i][j] = min(dp2[i][j-1],dp2[i+(1<<j-1)][j-1]);
        }
    }
}
int RMQ(int l,int r)
{
    int k = 0;
    while((1<<k+1) <= r-l+1) k++;
    return max(dp1[l][k],dp1[r-(1<<k)+1][k]) - min(dp2[l][k],dp2[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    int N,M,T;
    while(cin>>N>>M)
    {
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            scanf("%d",&vec[i]);
        }
        ST(N);
        for(int i=0;i<M;i++)
        {
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            int ans = RMQ(l,r);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}