2024.10.[2, 3]训练记录

10.2上午noip模拟

比赛是8:00开始的，人是8:40起床的。

T1

猜了结论，秒了。
结论是，一开始按照倒序排，连续是 \(1\) 的段 \(reverse\) 成正序。这样逆序对最多。
感觉做法太简单 \(O(n \log n)\) 肯定不放。于是想了 \(O(n)\) 做法。
最开始有 \(\dfrac{n*(n-1)}{2}\) 个逆序对，按段考虑贡献。就是 \(O(n)\)。

后记：\(O(n \log n)\) 放了，输。

10.3晚上订正

回校，死。
今天cs版本更新我没更。一天没玩。表扬自己。

T3

考场打完T1去cs了。没看T3。
考虑容斥。
按最终答案里最大值的归属来讨论。
注意到，统计的是最后那个取过最大值的三元组的个数。
所以考虑方案时最多考虑选 \(3\) 个。（选完 \(3\) 个决出 \(max\) 的话再选就没用。）

最大值来自于 \(1\) 个三元组时：
从 \(n\) 个中选出这一个，\(n\) 种。

最大值来自于 \(2\) 个三元组时：
先选出来两个，方案数 \(C(n, 2)\)。
设选的为第 \(i，j\) 个。
于是当 \(a_i < a_j, b_i < b_j, c_i < c_j\) 时，相当于只选了 \(j\)，和第一种情况算重。
于是减去所有的三位偏序个数。

最大值来自于 \(3\) 个三元组时：
选出三个的方案是 \(C(n, 3)\)。
当且仅当最后的最大值来自于一或两个三元组时算重。
这时，这一或两个三元组中必有一个取到的最大值个数 \(\geq 2\)。（及最后三元组的三个值中有不少于两个值来自这个三元组。）
枚举这个三元组下标 \(p\)。设另外两个是 \(i，j\)。
当最大值取到 \(a, b\) 这两个位置时。
\(a_i < a_p, a_j < a_p\)
\(b_i < b_p, b_j < b_p\)
这是个二维偏序。
把这个数量减掉，再减掉\(ac、bc\)的情况。
这时发现，满足三维偏序的情况被多减了两次，加回来即可（可复用第二种情况求过的三位偏序）。
最后全部求和就是总方案数。