耳分解 双极定向 竞赛图

抄论文 抄 JCY

耳分解

对于图 $G=(V,E)$ 的子图 $G'=(V',E')$，若一条简单路径或者简单环 $x_1,x_2,\cdots x_k$ 满足 $x_1,x_k\in V',x_2,\cdots,x_{k-1}\notin V'$，那么称之为一个耳，如果是简单路径则称之为开耳。

如果能将图分为一个子图序列 $G_0,G_1,\cdots G_k$，其中 $G_0$ 为一个环，且 $G_{i+1}\setminus G_i$ 是一个（去掉首尾的）耳，那么称之为一个耳分解。如果全是开耳则为开耳分解。

在有向图中也能类似地定义。

• 无向图边双连通 $\Longleftrightarrow$ 存在耳分解；
• 无向图点双连通 $\Longleftrightarrow$ 存在开耳分解；
• 有向图强连通 $\Longleftrightarrow$ 存在耳分解。

$\Longleftarrow$ 显然。$\Longrightarrow$ 构造耳分解，考虑从某个点作为根 $r$ 开始，时刻维护当前子图是个包含 $r$ 的连通块 $(V,E)$。对于以 $r$ 为根的 dfs 树，一定存在一个点 $x$ 满足 $x\notin V,fa_x\in V$，那么一定存在一条非树边覆盖 $(fa_x,x)$ 这条边，从 $fa_x$ 的某个祖先 $u$ 出发，到 $x$ 的某个后代 $v$，那么即找到一个 $u,x$ 为两端点的耳，可以将其加入。最后 $V$ 为全集时即可直接将剩余还不在 $E$ 中的边加入。（开耳分解就是 $u$ 可以为 $fa_x$）

对于有向图，$\Longleftarrow$ 直接归纳；$\Longrightarrow$ 考虑以 $1$ 为根求出 dfs 树以及 dfs 序，按照 dfs 序从小到大加点，（为了方便表述按照拓扑序重标号）如果 $x$ 已经在当前子图 $G'$ 中则跳过，否则考虑此时 $1,2,\cdots x-1$ 均在 $G'$ 中，而 $low_x<dfn_x$ 说明 $x$ 存在后代 $y$ 使得存在边 $y\to p$ 其中 $p<x$，那么加入 $fa_x\to x\leadsto y\to p$ 这个耳即可。

将无向图 $G$ 定向为强连通图当且仅当 $G$ 边双连通

若存在割边则不合法。否则考虑将耳分解中的所有耳均定向为有向环或者有向路径即可。

双极定向

对于无向图 $G$ 和两个点 $s,t$，以下四个命题等价：

1. 连接 $(s,t)$ 之后点双连通。
2. $G$ 中圆方树方点构成一条链，$s\leadsto t$ 是圆方树的一条直径。
3. 能将 $G$ 定向为一个 DAG，使得 $s$ 无入度且 $t$ 无出度，其余点出入度均不为 0。（双极定向）
4. 存在一个排列 $p_1=s,p_2,\cdots,p_n=t$ 使得任意前缀以及任意后缀的导出子图是连通的。

其中 1. 2. 等价显然；4. 的排列就是 3. 中的拓扑序。

由 1. 推 3.：初始时挑出包含 $s,t$ 的环，定向。开耳分解时根据两端点的拓扑序来确定耳上边的方向。（实现的话复杂度是平方的）

由 4. 推 2.：考虑逆否命题。将排列看成不断将白点染成黑点，时刻保证黑色白色内部连通。存在一个割点周围有至少三个点双，那么在染黑它之前至少有两个白色点双连通，染黑它之后这两个白色点双就不连通了。

如何简易地给出双极定向的构造（P9394 白鹭兰）：

对于一个点只保留父边以及子树最浅返祖边（也就是 $low$ 记录的那个）不会影响点双。对于叶子 $u$ 可以在这两个点任意之一被染黑后立刻染黑 $u$，所以在这两个点的记录的列表 $L_x$ 中 push_back $u$，将 $u$ 删去，不断剥叶子即可。从根开始遍历列表递归染黑即得到一个合法构造。

以 $s$ 为根，不去剥 $t$，这样子求出所有 $L$ 之后，对 $s$ 到 $t$ 路径上的每个 $L$ 依次进行递归染色即可。染 $t$ 时 $t$ 就是最后一个染完的（否则那个没被染的点并没有往上连的返祖边，也就是存在割点）。

求出拓扑序之后便可求出双极定向。

例题：洛谷 P9394 白鹭兰，QOJ 4805。

竞赛图

竞赛图构造哈密顿路径：时刻维护一条链，尝试整合。

强连通竞赛图构造哈密顿回路：对于哈密顿路径从前往后，时刻维护一个环以及后缀一条链，保证环全都是连向链。往链后面 push_back 点的时候如果该点有连向环的边，那么就将链整合进环中。

强连通竞赛图是泛圈的：对于 $3\leq i\leq n$，$G$ 均存在长度为 $i$ 的简单环。

由于已经有长度为 $n$ 的环，只需证明存在长度为 $n-1$ 的环，从而其导出子图是大小为 $n-1$ 的强连通竞赛图，即可完成归纳。考虑构造哈密顿回路的过程，如果加入最后一个点之前已经是一个 $n-1$ 的环那么直接就找到了，否则将链的开头去掉，结尾 push_back 最后一个点，再将这个链整合进环中即可，

Landau 定理：竞赛图出度序列 $p_1\leq p_2\leq p_3...\leq p_n$ 合法当且仅当 $\sum_{i=1}^np_i=\binom{n}{i}$，且 $\sum_{i=1}^{t}p_i\geq \binom{t}{2}$，并且取等处的 $t$ 即为缩点后的 scc 划分处。

$s\to t$ 的最小割：初始 $S=\{s\},T=V\setminus \{s\}$，此时割的大小就是 $S$ 到 $T$ 的边数。考虑将一个点 $x$ 从 $T$ 扔到 $S$ 的时候，最小割的变化量为：$\sum_{i\in T}[(x, i)\in E]-\sum_{i\in S}[(i,x)\in E]=\sum_{i\in T}[(x,i)\in E]-(|S|-\sum_{i\in S}[(x,i)\in E])=out_x-|S|$。所以将出度从小到大排序，一定是扔一个前缀。