置换 杨表

置换

基础双射

将置换 $p$ 唯一分解为若干循环（轮换分解），对于每个循环以其最大值作为开头，再将所有循环按照字典序升序排序，构成一个新的置换。

这是 $n$ 阶排列到 $n$ 阶排列的双射。右推左即为按照前缀最大值划分段从而得到这些循环。

例：$n$ 阶随机排列中 $1$ 所在循环长度为 $k$ 的概率为 $\frac{1}{n}$。首先 $1$ 和 $n$ 等价，而 $n$ 所在循环长度为 $k$ 需要基础双射后它在第 $n-k+1$ 位。

关于类型的结论

令 $c_i$ 表示 $p$ 种长度为 $i$ 的循环个数，将 $c_{1,2,...,n}$ 称为 $p$ 的类型。那么类型为 $c$ 的置换个数为：$\Large{\frac{n!}{\prod c_i!i^{c_i}}}$。

这里双射构造采用《多对一》的方式，对于任意一个置换将前 $c_1$ 个元素每个都作为一个循环，将之后的 $2c_2$ 个元素每相邻两个连为一个循环 ... 它能唯一对应到一个合法的排列，并且对于一个合法的排列它会出现 $\prod c_i!i^{c_i}$ 次。

逆序对与下降

求逆保 $\text{inv}$：逆序对满足 $\text{inv}(p)=\text{inv}(p^{-1})$，画在平面上得证

下降集合 $D(p)$ 是满足 $p_{i}>p_{i+1}$ 的 $i$ 构成的集合。主指标 $\text{maj}(p)=\sum_{i\in D(p)}i$。

$\text{inv}(p)$ 和 $\text{maj}(p)$ 等分布：$\text{inv}=k$ 和 $\text{maj}=k$ 的排列个数相同。

杨表

对于 $n=\sum a_i$ 的一个整数划分 $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_k$，画 $k$ 行左对齐的格子，第 $i$ 行格子数为 $a_i$。如果将 $1\sim n$ 中的数不重不漏地填入所有格子并且满足每行每列都严格递增，那么称其为标准杨表。

如果可以填入相同数字，每行不降，每列严格递增，那么称之为半标准杨表。

狗子公式：臂长是右侧格子数，腿长是下方格子处，勾长为臂长加腿长加一，记为 $\text{hook}(x)$。那么形状为 $\lambda$ 的杨表个数为 $\Large\frac{n!}{\prod_{x\in \lambda}\text{hook}(x)}$。

值域 $[1,m]$ 的半标准杨表的狗子公式：$\Large\prod_{(x,y)\in \lambda}\frac{m+y-x}{\text{hook}(x,y)}$。

$x$ 或者 $(x,y)$ 表示的是某个格子。