「题解」P6130 随机红包

在 $[0,1]$ 上随机撒 $(n-1)$ 个点划分成 $n$ 段，求第 $k$ 大的段长的期望。

从 Appleblue17 老师的题解中学的，大概详细写很多一笔带过但是我不认为很简单的步骤。

Part 1

令随机变量 $X$ 为第 $k$ 大的段长。$E(X)=\int_0^1P(X=x)x\text dx=\int_0^1P(X\geq x)\text dx=1-\int_0^1P(X<x)\text dx$，现在来计算 $P(X<x)$．

第 $k$ 大 $<x$ 当且仅当恰好有 $t$ 个 $\geq x$ 其中 $t<k$．

运用二项式反演，令 $f_t$ 表示恰好 $t$ 个 $\geq x$ 的概率，$g_t$ 表示钦定 $t$ 个 $\geq x$ 的概率，那么有：

$$g_t=\sum_{i=t}^n\binom{i}{t}f_t \\ f_t=\sum_{i=t}^n(-1)^{i-t}\binom{i}{t}g_t$$

而 $P(X<x)$ 就是 $\sum_{t=0}^{k-1}f_t$．

Part 2

考虑计算 $g_t$，首先乘上组合数 $\binom{n}{t}$ 选出钦定的段，使得“钦定的段”与“未钦定的段”之间没有顺序区分，这样就能将钦定段按顺序放到最前面。

通过用 $\binom{n}{t}$ 去除掉“钦定的段”与“未钦定的段”之间的顺序，我们来构建《$[0,1]$ 随机放点，前 $t$ 个段段长 $\geq x$》与《$[0,1]$ 随机放点，所有点均落在 $[tx,1]$ 中》这两个问题的双射。

前者映射到后者：将前 $t$ 段每段劈成长为 $x$ 和长为 $len-x$ 的两部分，再把长为 $len-x$ 的部分移动到这 $t$ 个长为 $x$ 段的右侧。这样就是最前面有 $t$ 个长为 $x$ 的段，然后剩下 $(1-tx)$ 的长度分了 $n$ 段。

后者映射到前者：将 $[tx,1]$ 被劈开的 $n$ 部分中的前 $t$ 部分分配给前面那 $t$ 个 $x$．

通过这个双射，得到 $g_t=(1-tx)^{n-1}$．

注：我不知道有没有更好的处理方式，我能想到的比较严谨的证明就是这个。

Part 3

组合上的手法到此结束了，现在就能列出答案进行推式子了。答案是：

$$\begin{aligned} &1-\int_0^1 P(X<x)\text dx \\ =&1-\int_0^1 \sum_{t=0}^{k-1}\sum_{i=t}^n[ix\leq 1](-1)^{i-t}\binom{i}{t}\binom{n}{i}(1-ix)^{n-1}\text dx \end{aligned}$$

想通过交换求和号与积分号通过将积分的上界改写成 $\frac{1}{i}$ 来去掉 $[ix\leq 1]$ 的限制，将 $t=i=0$ 的那一项单独拿出来就能往下写了。

$$\begin{aligned} =&1-\int_0^1 \sum_{t=0}^{k-1}\sum_{i=t}^n[i>0](-1)^{i-t}\binom{i}{t}\binom{n}{i}(1-ix)^{n-1}-1 \\ =&-\sum_{t=0}^{k-1}\sum_{i=t}^n[i>0](-1)^{i-t}\binom{i}{t}\binom{n}{i}{\color{Red}{\int_0^1(1-ix)^{n-1}\text dx}} \\ =&-{\color{Red}{\frac{1}{n}}}\sum_{t=0}^{k-1}\sum_{i=t}^n[i>0](-1)^{i-t}\binom{i}{t}\binom{n}{i}{\color{Red}{\frac{1}{i}}} \end{aligned}$$

最后一步需要求 $(1-ix)^{n-1}$ 的不定积分：

$$\begin{aligned} &\int(1-ix)^{n-1}\text dx \\ =&\int(1-ix)^{n-1}(-i)\text dx/(-i) \\ =&\int (1-ix)^{n-1}\text d(1-ix)/(-i) \\ =&\frac{(1-ix)^n}{-in} \end{aligned}$$

这个就是第一换元积分法，$(1-ix)^{n-1}=u^{n-1}$ 换元，利用 $\frac{\text du}{\text dx}=u'\Rightarrow u'\text dx=\text du$，把 $\text du$ 凑出来，这样就转化成了求 $\int u^{n-1}\text du$．

Part 4

然后将 $t=0$ 这一项单独拿出来看，先不去管 $-\frac{1}{n}$：

$$\sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}\frac{1}{i}$$

两种解法。

第一种解法的思路大概是这个形式看上去就很想去吸收，但是不能直接用吸收恒等式，那么就沿用吸收恒等式的思路去想办法把 $\frac{1}{i}$ 凑到某个阶乘里面形成另一个组合数，从而想到去运用上指标求和：

$$\begin{aligned} =&\sum_{i=1}^n(-1)^i\sum_{j=0}^{n-1}\binom{j}{i-1}\frac{1}{i} \\ =&\sum_{i=1}^n(-1)^i\sum_{j=0}^{n-1}\binom{j+1}{i}\frac{1}{j+1} \\ =&\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{j+1}\sum_{i=1}^{j+1}(-1)^i\binom{j+1}{i} \\ =&-\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j} \end{aligned}$$

最后一步是将后面的求和号写成 $(1-1)^{j+1}-1$．

第二种解法的思路是去凑二项式定理的形式，那就需要把 $\frac{1}{i}$ 这里的 $i$ 放到指数上，把它写成一个定积分 $\frac{1}{i}=\int_0^1 t^{i-1}\text dt$

$$\begin{aligned} =&\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}\int_0^1 t^{i-1}\text dt \\ =&\int_0^1\text dt\frac{1}{t}\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i} t^i \\ =&\int_0^1\text dt\frac{(1-t)^n}{t} \\ =&\int_0^1\text dt\frac{(1-t)^n}{1-(1-t)} \\ =&\int_0^1\text dt\sum_{i=0}^{n-1}(1-t)^i \\ =&\sum_{i=0}^{n-1}\int_0^1\text dt(1-t)^i \\ =&-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \end{aligned}$$

第三行到第四行是去凑等比数列求和，然后再对等比数列每一项积分。最后一步省略的就是前面说的第一类换元积分法（凑微分）。

所以 $t=0$ 这部分对答案的贡献是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}$．

Part 5

看 $t>0$ 的那些：

$$\begin{aligned} =&-\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{k-1}\sum_{i=t}^n(-1)^{i-t}\binom{i}{t}\binom{n}{i}\frac{1}{i} \\ =&-\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{k-1}\sum_{i=t}^n(-1)^{i-t}\frac{1}{t}\binom{i-1}{t-1}\binom{n}{i} \\ =&-\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{k-1}\frac{1}{t}\sum_{i=0}^{n-t}(-1)^i\binom{i+t-1}{t-1}\binom{n}{i+t} \end{aligned}$$

发现 $(-1)^i\binom{i+t-1}{t-1}$ 形式太好看了，它就是 $[x^i]\frac{1}{(1+x)^t}$（广义二项式定理之后上指标反转），那就把两个组合数都去写成生成函数的某一项系数：

$$\begin{aligned} =&-\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{k-1}\frac{1}{t}\sum_{i=0}^{n-t}\left([x^i]\frac{1}{(1+x)^t}\right)\left([x^{n-i-t}](1+x)^{n}\right) \end{aligned}$$

这正是个卷积的形式，那么：

$$\begin{aligned} =&-\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{k-1}\frac{1}{t}[x^{n-t}](1+x)^{n-t} \\ =&-\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{k-1}\frac{1}{t} \end{aligned}$$

加上 $t=0$ 的 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}$，我们得到了最终的答案：

$$\frac{1}{n}\sum_{i=k}^{n}\frac{1}{i}$$

End.