「题解」ARC139F Many Xor Optimization Problems

考虑线性空间的标准基底（即每个主元都只有对应向量有值），答案为所有基底异或和。对于一个秩 $k$ 计算它对答案的贡献。固定主元为 $a_1<a_2<\cdots <a_k$，各种情况应该是等概率，也就是对第 $i$ 个基底来说，$a_i$ 位一定为 $1$，再往下的位除了在 $a$ 出现过的以外的位 0/1 是等概率的。也就是所有 $a$ 出现概率为 $1$，其余位出现概率为 $1/2$，那么答案的期望就是 $\frac{(2^{a_k+1}-1+\sum 2^{a_i})}{2}=2^{a_k}+\sum_{i=1}^k2^{a_i-1}-\frac 12$。

（这里的条件概率是说，样本空间是随机向量序列，已知主元位置为 $a$ 的条件概率）

固定 $a$ 之后，期望需要乘以得到这个 $a$ 的方案数贡献到答案里。计算这两个的方案数：

• 原序列中每个向量主元位置上的具体取值；
• 基底中所有非主元位置的取值。

就是通过每个向量主元位置上的取值，将对应基底相异或就能得到这个向量。

前者是长为 $n$ 的 $\mathbb F_2^k$ 向量序列秩为 $k$ 的方案数，行秩等于列秩所以转置一下就是 $k$ 个 $\mathbb F_2^n$ 两两线性无关的方案数，是 $\prod_{i=0}^{k-1}(2^n-2^i)$。后者就是 $\prod_{i=1}^{k}2^{a_i-(i-1)}$。

先把常数 $\prod_{i=0}^{k-1}(2^n-2^i)2^{-\binom{k}{2}}$ 提出来，现在就看期望 $\times \prod_{i=1}^k2^{a_i}$ 咋算，把期望拆成三部分计算。

$-\frac{1}{2}$：相当于要计算 $[x^k]\prod_{i=0}^{m-1}(1+2^ix)=2^{\binom{k}{2}}{m\brack k}_2$。

$\sum_{i=1}^k 2^{a_i}$：考虑用 $(2^m-1)$ 减去没在 $a$ 中出现的 $2^j$，相当于考虑 $a$ 再选上一个额外的数，然后 $k$ 就有 $(k+1)$ 种选法，所以这部分的方案数是 $(2^m-1)2^{\binom{k}{2}}{m\brack k}_2-(k+1)2^{\binom{k+1}{2}}{m\brack k+1}_2$。

$2^{a_k}$：枚举 $i=a_k$ 就是 $\sum_{i=k-1}^{m-1}2^{2i}2^{\binom{k-1}{2}}{i\brack k-1}_2$。

所以答案就是（稍微化简了一下）：

$$\sum_{k=0}^{\min(n,m)}\left(\prod_{i=0}^{k-1}(2^n-2^i)\right)\left((2^{m-1}-1){m\brack k}_2-(k+1)2^{k-1}{m\brack k+1}_2+2^{-k+1}\sum_{i=k-1}^{m-1}2^{2i}{i\brack k-1}_2\right)$$

最右边的 $\sum_{i=k-1}^{m-1}2^{2i}{i\brack k-1}_2$ 把 $2^{2i}$ 写成 $(2^{i+1}-1)2^{i-1}+2^{i-1}$ 两部分，然后把 $(2^{i+1}-1)$ 吸收进去，得到个 $(2^k-1)\sum_{i=k-1}^{m-1}2^{i-1}{i+1\brack k}+\sum_{i=k-1}^{m-1}2^{i-1}{i\brack k-1}_2$，上指标求和就得到了 $(2^{2k-2}-2^{k-2}){m+1\brack k+1}_2+2^{k-2}{m\brack k}_2$

稍微化简一下（不化简也行 已经可以算了）答案就是：

$$\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\min(n,m)}\left(\prod_{i=0}^{k-1}(2^n-2^i)\right)\left((2^m-1){m\brack k}_2-(k+1)2^k{m\brack k+1}_2+(2^k-1){m+1\brack k+1}_2\right)$$

直接算就是线性的。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n'
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n'
#define DE(fmt,...) fprintf(stderr, "Line %d : " fmt "\n",__LINE__,##__VA_ARGS__)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=998244353;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
const int N=250010;
int n,m;
int qn[N],pw[N],fac[N],inv[N];
int C(int x,int y){return 1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;}
void init(){
	int t=max(n,m)+1;
	pw[0]=1;for(int i=1;i<=t;i++)pw[i]=add(pw[i-1],pw[i-1]),qn[i]=del(pw[i],1);
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=t;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*qn[i]%mod;
	inv[t]=qpow(fac[t],mod-2);for(int i=t-1;~i;--i)inv[i]=1ll*inv[i+1]*qn[i+1]%mod;
}
signed main(){
	#ifdef do_while_true
//		assert(freopen("data.in","r",stdin));
//		assert(freopen("data.out","w",stdout));
	#endif
	read(n,m);
	init();
	int ans=0,coef=1;
	for(int k=0;k<=min(n,m);k++){
		int s=0;
		cadd(s,1ll*qn[m]*C(m,k)%mod);
		cdel(s,1ll*(k+1)*pw[k]%mod*C(m,k+1)%mod);
		cadd(s,1ll*qn[k]*C(m+1,k+1)%mod);
		cadd(ans,1ll*s*coef%mod);
		coef=1ll*coef*del(pw[n],pw[k])%mod;
	}
	cout<<1ll*ans*((mod+1)/2)%mod<<'\n';
    #ifdef do_while_true
//		cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}