q-binomial

对着 zaky 抄写一下...这里用极限定义大概只是为了 $q=1$ 时的特殊情况，就是二项式系数。后面都用 $q$ 表示无限趋近于 $q$ 了。

定义：

$$[n]_q = \sum\limits_{i=0}^{n-1} q^i = \lim_{x \rightarrow q} \frac{1-x^n}{1-x}, [ n ] !_q = \prod_{i=1}^n [i]_q, {n \brack m}_q = \frac {[n]!_q} {[m]!_q [n - m]!_q}$$

对称，展开，吸收，帕斯卡恒等式。

$${n\brack m}_q={n\brack n-m}_q$$

$${n\brack m}_q=\frac{\prod_{n-m+1}^n(1-x^i)}{\prod_1^m (1-x^i)}$$

$$[m]_q{n\brack m}_q=[n]_q{n-1\brack m-1}_q$$

$${n\brack m}_q={n-1\brack m-1}_q+q^m{n-1\brack m}_q$$

（下面是需要额外记忆的）代入 $m\gets n-m$ 有帕斯卡恒等式第二个形式（自己编的名字）：

$${n \brack m}_q = q^{n-m} {n-1 \brack m-1}_q + {n-1 \brack m}_q$$

考虑 $m\times (n-m)$ 这个平面，相当于每次可以往右走或者往上走，每次往右走还要乘上 $q$ 的《当且列下方格子》次方。所以得到 ${n\brack m}_q$ 的一个组合意义就是 $(0,0)$ 走到 $(n-m,m)$ 每步只能向右或向上，所有路径中，$q^{\text{折线右下方格子数}}$ 之和。

二项式定理：

$$\prod_{i=0}^{n-1} (1+q^iz) = \sum\limits_{i=0}^n q^{\binom{i}{2}} {n \brack i}_q z^i$$

证明直接对 $n$ 归纳即可。这给出了生成函数的形式 $q^{\binom{m}{2}}{n\brack m}_q=[x^m]\prod_{i=0}^{n-1}(1+q^iz)$，这给出了 ${n\brack m}_q$ 的另一个组合意义是，对于 $1\sim n$ 的选出大小为 $m$ 的集合 $S$，${n\brack m}_q=\sum\limits_{|S|=m}\prod\limits_{i\in S}q^{i\text{ 前面有多少个没被选}}$。

上指标求和：${n + m + 1 \brack n + 1}_q = \sum\limits_{i=0}^m q^i {n + i \brack n}_q$，不断运用帕斯卡恒等式第二个形式。

范德蒙德卷积：${n + m \brack k}_q = \sum\limits_{i=0}^k q^{(n-i)(k-i)} {n \brack i}_q {m \brack k-i}_q$，考虑运用第二个组合意义，后半部分选出的 $(k-i)$ 每个都要补充乘上 $q^{n-i}$。