数论 2

以下 $p$ 全是素数。

Wilson：素数 $p$ 有 $(p-1)!\equiv -1\pmod p$

推论：计算 $n!$ 所有数除去质因子 $p$ 之后乘积 $(n!)_p$ 模 $p$ ：每 $p$ 个分一组，散块暴力（或者预处理），整块的前 $p-1$ 个 Wilson，最后一个全都除以 $p$ 之后递归。

每个数和其逆元配对。仅需考虑逆元为本身即 $x^2\equiv 1\pmod p$ ，仅有 $x=1,-1$ 。

CRT：和拉插一样构造。 $x\equiv a_i\pmod {m_i}$ ，对于每个 $a_i$ 配的系数要满足模 $m_i$ 为 $1$ ，模其它的是 $0$ ，那首先让其它的 $m_j$ 乘起来，再乘上其在模 $m_i$ 意义下的逆元，即为 $a_i$ 前面配的系数。

Legendre 公式： $p$ 在 $n!$ 中次幂为 $v_p(n!)=\sum \lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor=\frac{n-S_p(n)}{p-1}$ ，这里 $S_p(n)$ 是 $p$ 进制数位和。

直接考虑所有 $p$ 的倍数，全都除以 $p$ 之后递归。由此归纳。

Kummer 定理： $v_p(\binom{n}{m})=\frac{S_p(m)+S_p(n-m)-S_p(n)}{p-1}$ 。常用推论：多重组合数模 2 当且仅当下标们二进制下两两不交。

Wilson 定理的推广：

(p^{q}!)_{p} \equiv {\begin{cases} 1, & (p = 2) \land (q \geq 3), \\ - 1, & otherwise . \end{cases}

$(p^q!)_p\equiv \begin{cases} 1, & (p=2) \land (q\geq 3),\\ -1, & \text{otherwise}. \end{cases}$

考虑配对。解 $x^2\equiv 1\pmod {p^q}$ 。 $p^q=2$ 时只有 $1$ ， $p=2,q\geq 3$ 时有 $\pm 1,2^{q-1}\pm 1$ ，其余情况仅有 $\pm 1$ 。

现在和上文中同理，也能计算 $(n!)_p\bmod {p^q}$ 了，按 $p$ 分组，按 $p^q$ 分块。散块暴力，整块直接套用 Wilson 的推广，每组最后一个数单独拉出来，统一除以 $p$ 以后递归算。

Lucas： $\binom{n}{m}\equiv \binom{\left\lfloor n/p \right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\pmod p$

对于多项式 $f(x)$ 满足 $f^p(x)\equiv f(x^p)\pmod p$ 。

欲求 $\binom{n}{m}=[x^m](1+x)^n=[x^m](1+x)^{p\cdot [n/p]}(1+x)^{n\bmod p}=(1+x^p)^{[n/p]}(1+x)^{n\bmod p}$ .

而前者仅在 $p$ 的次幂处有取值，后者次数 $<p$ ，那么前者只能取 $p[m/p]$ 这一项，后者只能取 $m\bmod p$ 。即得 Lucas 定理。