「题解」Codeforces 1427G One Billion Shades of Grey

感谢 127 的指导/ll

\(|h_u-h_v|=\max(0,h_u-h_v)+\max(0,h_v-h_u)\)，那么可以把它看成这样的问题：

\[\min \{\sum_{(u,v)}\max(0,h_u-h_v+w_{u,v})c_{u,v}\} \]

对偶一下，问题就变为：如果两个格子相邻就互相连容量为 \(c_{u,v}=1\)，费用为 \(w_{u,v}=0\) 的边，跑最大费用循环流。

为了限制边界上那些格子 \(h\) 取得就是其 \(a_{i,j}\)，建立一个点 \(S\) 代表零势点，连边 \(S\to u\)，容量为 \(+\infty\)，费用为 \(a_{i,j}\)；连边 \(u\to S\)，容量为 \(+\infty\)，费用为 \(-a_{i,j}\)。（这里 \(c=\infty\) 是为了限制对偶前问题里那个绝对值必须取 \(0\)）。

如果将边界内部的费用提前统计好，\(c=1,w=0\) 的边仅在边界与内部，内部与内部之间连边。那么边界只有一条出边。所以边界与 \(S\) 之间的容量可以视作 \(1\)。

为了跑最大费用循环流，将边界 \(\to S\) 的边改成边界到 \(\to\) 汇点 \(T\) 的边，跑最大费用可行流就行。

想要优化的话就考虑从大往小对 \(S\) 的出点开始进行 bfs，在能走到的路径里面选择最优的那一条增广。每次增广完 \(S\) 的出边和 \(T\) 的入边就会有一条失效。所以总复杂度是 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n'
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n'
#define DE(fmt,...) fprintf(stderr, "Line %d : " fmt "\n",__LINE__,##__VA_ARGS__)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int N=210;
const int inf=0x7fffffff;
const ll INF=0x7fffffffffffffff;
int tot;
int head[N*N],ent=1;
int n,p[N][N],a[N][N];
int ok[N*N],pre[N*N],fro[N*N];
int dx[]={1,-1,0,0};
int dy[]={0,0,1,-1};
vpii vec;
struct Edge{
	int to,nxt;
	int w;
}e[(N*N)<<3];
inline void adde(int x,int y){
	e[++ent]={y,head[x],1};head[x]=ent;
	e[++ent]={x,head[y],0};head[y]=ent;
}
void dfs(int x){
	ok[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to,w=e[i].w;
		if(!w||ok[v])continue;
		pre[v]=i;fro[v]=x;
		dfs(v);
	}
}
ll MC(){
	sort(vec.begin(),vec.end(),[&](pii x,pii y){return a[x.fi][x.se]>a[y.fi][y.se];});
	ll s=0;
	for(auto [u,v]:vec){
		for(int i=1;i<=tot;i++)ok[i]=pre[i]=0;
		dfs(p[u][v]);
		int o=0,c=-inf;
		for(auto [x,y]:vec){
			if(ok[p[x][y]]&&-a[x][y]>c){
				c=-a[x][y];
				o=p[x][y];
			}
		}
		if(c==-inf)continue;
		if(a[u][v]+c<0)continue;
		s+=a[u][v]+c;
		while(o!=p[u][v]){
			int ep=pre[o];
			e[ep].w^=1;e[ep^1].w^=1;
			o=fro[o];
		}
	}
	return s;
}
signed main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			read(a[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(a[i][j]>=0)
				p[i][j]=++tot;
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(a[i][j]>=0){
				if(a[i][j]>0){
					vec.pb(mp(i,j));
				}
				for(int o=0;o<4;o++){
					int x=i+dx[o],y=j+dy[o];
					if(a[i][j]>0&&a[x][y]>0)ans+=abs(a[i][j]-a[x][y]);
					else{
						if(a[x][y]>=0){
							adde(p[i][j],p[x][y]);
						}
					}
				}
			}
	ans/=2;
	ans+=MC();
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}