万能欧几里得

感谢可爱 cftm

$y=\frac{ax+b}{c}$ 在 $x\in (0,n]$ 中，如果遇到一条 $x=k$ 的竖线执行 $R$，否则执行 $U$，如果遇到整点先 $U$ 在 $R$（可以将 $U,R$ 视作具有结合律的信息），问最后得到的信息是啥。

记作 $solve(n,a,b,c,U,R)$，其中 $0\leq b<c$。

如果 $a\geq c$：此时 $x$ 每增大 $1$ 必然碰到 $\lfloor\frac{a}{b}\rfloor$ 个 $U$，同时分子累加 $a\bmod c$，所以转移到 $solve(n,a\bmod c,b,c,U,U^{\lfloor\frac{a}{c}\rfloor}R)$。

如果 $a<c$：记 $s_i$ 为第 $i$ 个 $R$ 前面有多少个 $U$，那么 $s_i=\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor$，反过来考虑一个 $U$ 前面有多少个 $R$，那么就有：

$$\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor<y \\ ax+b<cy \\ x<\frac{cy-b}{a} \\ x\leq \left\lfloor\frac{cy-b-1}{a}\right\rfloor$$

所以可以转一下看成 $y=\frac{cx-b-1}{a}$ 这条直线，然后交换 $U,R$。现在有三个问题：

• 新的定义域是啥；
• 最后一个 $U$ 后面的 $R$ 没统计上它们有多少个；
• $-b-1$ 是负数。

挨个解决（这里的 $U,R$ 都是原问题的，也就是交换前的）：

• 在原问题中一共有 $m=\lfloor\frac{an+b}{c}\rfloor$ 个 $U$ 所以新问题的定义域可以视作 $(0,m]$。
• 那么一共统计到了 $\left\lfloor\frac{cm-b-1}{a}\right\rfloor$ 个 $R$，所以最后需要额外补上 $n-\left\lfloor\frac{cm-b-1}{a}\right\rfloor$ 个 $R$。
• 考虑将第一个 $U$ 前面的 $R$ 单独算，在前面补上 $\lfloor\frac{c-b-1}{a}\rfloor$ 个 $R$ 和一个 $U$。本来分子的积累是 $-b-1$，补完 $U$ 以后分子的积累变成了 $c-b-1$，因为这个实际意义是分子每积累到一个 $a$ 的倍数就多一个 $R$，所以要将状态改为 $y=\frac{cx+((c-b-1)\bmod a)}{a}$，需要的 $U$ 少了个一个于是定义域改为 $(0,m-1]$。

板子题的代码，可能慢了一点，唉

ele qpow(ele x,ll y){
	ele s=I;
	while(y){
		if(y&1)s=s*x;
		x=x*x;
		y>>=1; 
	}
	return s;
}
ele solve(ll n,ll a,ll b,ll c,ele U,ele R){
	if(n<=0)return I;
	if(a>=c)return solve(n,a%c,b,c,U,qpow(U,a/c)*R);
	ll m=((i128)a*n+b)/c;
	if(!m)return qpow(R,n);
	return qpow(R,(c-b-1)/a)*U*solve(m-1,c,(c-b-1)%a,a,R,U)*qpow(R,n-(c*m-b-1)/a);
}