「题解」P9655 『GROI-R2』 Beside You

是不是爆标了啊/yiw

把每个点权值 \(a_x\) ( 看成 -1，) 看成 1，首先得到一个简单的 \(\mathcal{O}(n^2)\) dp：\(f_{x,i}\) 表示 \(x\) 子树内到 \(x\) 前缀和为 \(i\) 的最多点数。如果 \(a_x=1\) 对于儿子 \(v\) 那么 \(f_{x,i+1}\gets f_{x,i+1}+f_{v,i}\)，否则 \(f_{x,i-1}\gets f_{x,i-1}+f_{v,i}\)．最后再将 \(f_x\) 中有值的加上 \(1\)（也就是存在这种方案就把 \(x\) 这个点算上）。如果 \(a_x=1\) 且 \(f_{x,1}\) 没值那么把 \(f_{x,1}\) 设为 \(1\)．

template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
void dfs(int x,int fa){
	len[x]=1;
	for(auto v:eg[x])if(v!=fa){
		dfs(v,x);
		cmax(len[x],len[v]+1);
		if(a[x]==1){
			for(int i=0;i<=len[v];i++)
				f[x][i+1]+=f[v][i];
		}
		else{
			for(int i=1;i<=len[v];i++)
				f[x][i-1]+=f[v][i];
		}
	}
	for(int i=0;i<=len[x];i++)if(f[x][i])++f[x][i];
	if(a[x]==1&&!f[x][1])f[x][1]=1;
	cmax(ans,f[x][0]);
}

尝试长剖优化。首先是后缀非零位置加这个东西，可以再记一个 \(t_{x,i}\) 表示要将 \(f_{x,\geq i}\) 的非零位置加上 \(t_{x,i}\)，需要用到 \(f\) 真实值的时候去更新（用多少更新多少）。也就是在短儿子往自己合并的时候把短儿子更新掉，也把自己用到的 \(f\) 更新掉，然后轻儿子再合并上来。

\(a_x=1\) 的时候 \(f_x\) 就是其长儿子 \(f_{son}\) 整体右移一位，而 \(a_x=0\) 的时候是整体左移一位。也就是赋指针的时候可能会 \(f_{son}=f_x-1\)，所以分配空间的时候给 \(f_x\) 分配两倍的最深深度大小的空间就行。

时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n)\)．

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n'
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n'
#define DE(fmt,...) fprintf(stderr, "Line %d : " fmt "\n",__LINE__,##__VA_ARGS__)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=998244353;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
const int N=3000010;
int n;
vi eg[N];
char str[N];
int a[N],len[N],son[N];
int buff[N],*f[N],*fp=buff; 
int buft[N],*t[N],*tp=buft;
int ans;
void dfs1(int x,int fa){
	len[x]=1;
	for(auto v:eg[x])if(v!=fa){
		dfs1(v,x);
		cmax(len[x],len[v]+1);
		if(len[v]>len[son[x]])son[x]=v;
	}
}
int top[N];
void remake(int x,int p){
	p=min(p,len[x]);
	int s=0;
	for(int i=top[x];i<=p;i++){
		s+=t[x][i];
		if(f[x][i])f[x][i]+=s;
		t[x][i]=0;
	}
	if(p+1<=len[x])
		t[x][p+1]+=s;
	top[x]=p+1;
}
void dfs2(int x,int fa){
	if(son[x]){
		f[son[x]]=f[x]+a[x];
		t[son[x]]=t[x]+a[x];
		dfs2(son[x],x);
		if(a[x]==-1){
			remake(son[x],1);
			f[son[x]][0]=t[son[x]][0];
		}
	}
	for(auto v:eg[x])if(v!=fa&&v!=son[x]){
		f[v]=fp+len[v]+1;fp+=2*len[v]+2;
		t[v]=tp+len[v]+1;tp+=2*len[v]+2;
		dfs2(v,x);
		if(a[x]==1){
			remake(v,len[v]);
			remake(x,len[v]+1); 
			for(int i=0;i<=len[v];i++)
				f[x][i+1]+=f[v][i];
		}
		else{
			remake(v,len[v]);
			remake(x,len[v]);
			for(int i=1;i<=len[v];i++)
				f[x][i-1]+=f[v][i];
		}
	}
	if(a[x]==1&&!f[x][1]){
		remake(x,1);
		f[x][1]=1;
		if(f[x][0])f[x][0]++;
		if(len[x]>=2)t[x][2]++,top[x]=0;
	}
	else t[x][0]++,top[x]=0;
	if(f[x][0])cmax(ans,f[x][0]+t[x][0]);
}
signed main(){
	#ifdef do_while_true
//		assert(freopen("data.in","r",stdin));
//		assert(freopen("data.out","w",stdout));
	#endif
	read(n);
	scanf("%s",str+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=str[i]=='('?-1:1;
	for(int i=1,u,v;i<n;i++){
		read(u,v);
		eg[u].pb(v);eg[v].pb(u);
	}
	dfs1(1,0);
	f[1]=fp+len[1]+1;fp+=2*len[1]+2;
	t[1]=tp+len[1]+2;tp+=2*len[1]+2;
	dfs2(1,0);
	cout<<ans<<'\n';
    #ifdef do_while_true
//		cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}