「题解」BZOJ 3305 Catalan 数

$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j+1}(j+1)$ 看成生成函数就有 $F_n=xF_{i-1}+F_{i-1}'$，思路是凑微分，想凑出一个 $G_i$ 是和 $F_i$ 有关的，然后 $G_i$ 有比较简单的形式。

这里就 $G_n=F_n\times H$，然后想凑 $G_n=G_{n-1}'$，所以就有 $F_nH=F_{n-1}H'+F_{n-1}'H$，两边除掉 $H$ 那么就有 $F_n=\frac{H'}{H}F_{n-1}+F_{n-1}'$，这样就有 $\frac{H'}{H}=(\ln H)'=x$，所以 $H=e^{\frac{x^2}{2}}$．

所以答案就是 $[x^0]H^{(2n)}=2n![x^{2n}]e^{\frac{x^2}{2}}=2n!\frac{1}{n!2^n}$．

好像求解这类问题不止有这种，希望以后有时间深刻学习一下α老师的处理技术/kel