「题解」BZOJ 3305 Catalan 数

\(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j+1}(j+1)\) 看成生成函数就有 \(F_n=xF_{i-1}+F_{i-1}'\)，思路是凑微分，想凑出一个 \(G_i\) 是和 \(F_i\) 有关的，然后 \(G_i\) 有比较简单的形式。

这里就 \(G_n=F_n\times H\)，然后想凑 \(G_n=G_{n-1}'\)，所以就有 \(F_nH=F_{n-1}H'+F_{n-1}'H\)，两边除掉 \(H\) 那么就有 \(F_n=\frac{H'}{H}F_{n-1}+F_{n-1}'\)，这样就有 \(\frac{H'}{H}=(\ln H)'=x\)，所以 \(H=e^{\frac{x^2}{2}}\)．

所以答案就是 \([x^0]H^{(2n)}=2n![x^{2n}]e^{\frac{x^2}{2}}=2n!\frac{1}{n!2^n}\)．