2023.9.4 开摆：二项式反演的gf推法

今天学习具体数学 P225 时，用二项式反演推了 (6.40) ，进而发现了 (6.39) 和 (6.40) 这两个式子可以二项式反演互推，而书中是用生成函数推的，想了一下发现这种形式的二项式反演是可以生成函数推出来的。

\[\begin{aligned} f(m)&=\sum_{k\geq m}\binom{k}{m}g(k)\\ \sum_{m\geq 0} z^mf(m)&=\sum_{m\geq 0}\sum_{k\geq m}\binom{k}{m}g(k)z^m\\ &=\sum_{k\geq 0}g(k)\sum_{m\leq k}\binom{k}{m}z^m\\ &=\sum_{k\geq 0}g(k)(z+1)^k \end{aligned} \]

换元，用 \(z-1\) 替换 \(z\) 即得到：

\[\sum_{k\geq 0}(z-1)^kf(k)=\sum_{k\geq 0}g(k)z^k \]

两边提取 \([z^m]\) 系数得到：

\[g(m)=\sum_{k\geq m}\binom{k}{m}(-1)^{k-m}f(k) \]

这里的思路在于用在 \(f\) 的 ogf \(F(z)\) 中换元 \(z\gets z-1\) 得到 \(g\) 的 ogf \(G(z)\)，另一个方向的二项式反演是否还能用 ogf 换元的方式得到还在思考emmm

原来学过，现在要证：

\[f(m)=\sum_{k\leq m}\binom{m}{k}g(k)\Longleftrightarrow g(m)=\sum_{k\leq m}\binom{m}{k}(-1)^{m-k}f(k) \]

令 \(F,G\) 为 \(f,g\) 的 egf，那么就有 \(F(z)\times e^z=G(z)\)，等价于 \(F(z)=G(z)e^{-z}\)，展开之后就是上式。